Sfera înscrisă în poliedru

Acasă | Despre noi | feedback-ul

Definiția. Sfera se numește poliedru înscris. în cazul în care planul fețelor poliedru se referă în sfera roabă dispusă în interiorul acestor margini. În acest poliedru se numește circumscris despre o sferă.

sferă TEOREMA 1. Într-un tetraedru arbitrar poate fi înscris (bile).

Setul de puncte echidistant față de marginile laterale ale tetraedrul este linia de intersecție a două plane bisectoare unghiurile diedre cu cele două nervuri laterale. Această linie intersectează planul bisector al unghiului diedru la baza. Punctul rezultat este echidistant față de toate muchiile tetraedrului.

In tetraedru ABCD CDN și planul ADM sunt plane bisectoarea unghiurilor diedre la marginile laterale ale CD și AD. Ele se intersectează într-o linie dreaptă OD. avion bisssektornoy AKC este planul unghiului diedru de la baza (coaste AC). Acest plan intersectează OD linie dreaptă la punctul S (P - punctul de intersecție al liniilor DM și KC, aparținând avioanelor AKC și ADM simultan, în consecință punctul S - punctul de intersecție al AP și OD), care va fi punctul echidistant față de toate fețele unui tetraedru și, prin urmare Acesta va fi centrul unei sfere înscris în ABCD tetraedru.

Exemplul 1. Găsiți raza sferei înscris într-un tetraedru regulat.

Luați în considerare triunghiuri similare DPS și DOK (două unghiuri: unghiul D - ansamblu, colțuri DPS și DOK - linii).

dat fiind faptul că PS = r = SO și DS = DO-SO = DO-r,

Răspuns: Raza sferei înscris într-un tetraedru regulat, este

Teorema 2. Într-o piramidă regulată poate fi înscrisă sfera.

Teorema 3. În piramida trunchiată dreapta poate intra în sfera dacă și numai dacă apotemă său egală cu suma razelor cercurilor înscrise în baza sa.

Teorema 4. În orice prismă poate fi înscrisă sfera dacă în secțiunea transversală perpendiculară poate înscrie într-un cerc a cărui rază este egală cu jumătate din înălțimea prismei.

Teorema 5. În prisma propriu-zis poate fi înscrisă sfera dacă și numai dacă înălțimea prismei este egală cu diametrul unui cerc înscris în baza sa.

Sferele descris despre cilindru, un con și

Definiția. Câmpul numit descris în jurul unui cilindru sau a unui trunchi de con. în cazul în care toate punctele de cercurile bazelor aparțin sferei; Sfera se numește conul de descris despre. dacă toată circumferința punctului de bază și vârful zonei aparțin.

În aceste cazuri, spun ei, că cilindrul, un trunchi de con sau un con înscris într-o sferă.

Teorema 1.Okolo cilindru arbitrar poate fi descrisă ca o sferă.

O1 și O2 - centre ale bazei superioare și inferioare, respectiv. avioane directe O1 O2 perpendicular pe baza. Desenează un plan care trece prin mijlocul cilindrului, perpendicular pe generatoarea. Acest plan va fi paralel cu planurile bazei și se intersectează linia dreaptă O1 O2 la punctul O, care va fi centrul sferei descrise în jurul cilindrului. Distanța de la punctul O la toate punctele de bază vor fi egale, deoarece O1 O2 este locul echidistant față de circumferința (linia care trece prin centrul cercului și perpendicular pe planul cercului). Deci, punctul O este centrul unei sfere cu raza OA, descrisă în jurul cilindrului.

Teorema 2.Okolo con trunchiat poate fi descrisă de domeniul de aplicare.

O1 și O2 - centre ale bazei superioare și inferioare, respectiv. avioane directe O1 O2 perpendicular pe baza. Luați în considerare formarea unui trunchi de con AB. Noi găsim locul echidistant de la roabă A și B. Acestea vor fi planul care trece prin punctul P - mijlocul AB și perpendicular pe această linie. Acest plan se intersectează O1 O2 la punctul O, care este echidistant față de punctele A și B. Este de asemenea evident că punctul O va fi echidistant față de toate punctele de bazele unui trunchi de con. În consecință, acest punct O va fi centrul sferei cu o rază OA, descris unele trunchiului de con.

con 3.Okolo Teorema poate fi descrisă de domeniul de aplicare.

În mod similar ultima teoremă OA - înălțimea conului, care este locul echidistant față de circumferința. Luați în considerare formarea AB și pentru a găsi locul echidistant de la A și B. Avionul rezultat (în sarcina anterioară) OA intersectează punctul O1. care este echidistant față de punctele A și B, precum și din orice punct al bazei conului. Așa că am ajuns la acest punct O1 este centrul sferei cu o rază de O1 A, descris în jurul conului.