Rezolvarea inegalităților pătratic prin extragerea pătratul binom

Uneori este util să se renunțe la standardele și uita-te la problema de cealaltă parte. În contextul rezolvării inegalităților pătratice, acest lucru înseamnă că ar fi frumos să învețe cum să se ocupe cu ei, nu numai metoda grafică obișnuită sau metoda de intervale. dar într-un mod diferit. Una dintre acestea nu este destul de abordările obișnuite de rezolvare vom examina în acest articol.

Aici ne uităm la decizia inegalitatilor pătrat prin evidențierea pătrat binomului în partea lor stângă. Aici ne-am stabilit piesele din partea teoretică a acestei probleme și explică-l dintr-o dată, dând exemple cu soluții.

Navigare în pagină.

metoda

Să începem cu esența metodei de rezolvare a inegalităților pătratice a · x 2 + b · x + c<0 (знаки неравенства могут быть и ≤,>, ≥), prin selectarea unui binom pătrat. Ideea este simplu: folosind echivalează cu transformarea inegalității. pornind de la inegalitate transferate la forma inegalitate echivalentă (x-p) 2 , ≥), unde p și q - unele numere, și deja se face o concluzie cu privire la soluțiile de inegalitate inițiale.

Rămâne să se clarifice două aspecte: ca o inegalitate pătratică începând cu forma (x-p) 2 , ≥), și modul în care să se ocupe de acest tip de inegalitate. Este dedicat acestora, la rândul său.

Tranziția de la pătrat la inegalitatea disparităților (x-p) 2 , ≥)

Pentru a aduce o inegalitate medie pătratică (x-p) 2 , ≥) efectuați pașii următori:

• Primul pas este trecut, atunci când un coeficient de 2 x este egal cu 1. Dacă un raport diferit de unitate, apoi se împarte ambele părți ale inegalității pe. Mai mult decât atât, în cazul în care un> 0. păstrează semnul inegalității, și în cazul în care un<0. то знак неравенства изменяют на противоположный. Указанное преобразование является равносильным, и в результате получается неравенство с коэффициентом 1 при x 2. равносильное исходному.
• Al doilea pas este trecut atunci când nu există nici un termen cu variabila x în primul grad. În cazul în care coeficientul lui x este diferit de zero, atunci partea stângă este izolat binom pătrat.
• În cele din urmă, termenul-numărul rămas (dacă este disponibilă) este transferată cu semnul opus, în partea dreaptă.

Ca rezultat al acestor pași, obținem inegalitatea speciei dorite.

Avem de a face cu aceste transformări de inegalitate pătrat cu exemple specifice.

Vom începe cu inegalitatea 2 x ≥0. Coeficientul lui x 2 este egal cu 1. Prin urmare, trecerea la a doua etapă. De asemenea, lipsește, pentru că nu există nici un termen cu x variabila. În a treia etapă, de asemenea, nu trebuie să facă nimic, pentru că partea stângă există un termen reprezentat de un număr. Deci, inegalitatea inițială este deja scris în forma cerută (x-p) 2 ≥q când p = 0 și q = 0 (care se poate observa imediat).

Acum, ia o inegalitate pătratică 5 · x 2 <0. Чтобы его привести к виду (x−p) 2

Uită-te în continuare inegalitatea pătratică. Împărțiți-l pe ambele părți de un număr negativ, schimbarea semnul inegalității, vedem că același lucru fără iraționalitatea la numitor. . Al doilea pas va fi omis din cauza lipsei termenului cu cel de x. Și în faza finală de transfer termenul în partea dreaptă :. Așa că am luat forma cerută de inegalitate (x-p) 2

Luați următorul caz. Pentru a-l aduce la dreapta, ne referim mai întâi efectuează divizia sa de ambele părți cu o treime, care este echivalentă cu înmulțirea cu numărul invers 3. menține semnul inegalității, și este transformat în forma x 2 + 6 · x + 9≤0. Există un termen cu x. Prin urmare, vom efectua o acțiune de-al doilea pas al algoritmului - selectați pătrat binom, rezultat avem (x + 3) 2 ≤0. Al treilea pas nu este necesară, deoarece după separarea pătratul termenului numeric stânga binomial. Deci, inegalitatea pătratice originală, am înlocuit inegalitatea (x-p) 2 ≤q. unde p = -3 și q = 0.

Și ultimul exemplu. Luați în considerare inegalitatea quadratic 4 · x 2 -4 · x-1<0. Делаем коэффициент при x 2 равным единице, выполняя деление обеих частей неравенства на 4 ; получаем . Теперь надо выделить квадрат двучлена: и дальше . На последнем шаге остается перенести оставшееся слагаемое −1/2 в правую часть, изменив его знак. В результате приходим к неравенству нужного нам вида , где p=1/2. q=1/2.

Cum de a rezolva inegalitatea (x-p) 2 , ≥)?

Deci, ne-am învățat să se mute de la rezolvarea inegalităților pătratice echivalente cu rezolvarea acestora inegalităților (x-p) 2 , ≥). Acum trebuie să dau seama cum să le rezolve. Pentru a face acest lucru, la rândul său, ia în considerare trei cazuri: q - număr negativ, q = 0 și q - un număr pozitiv.

pentru q<0

În acest caz (și în următoarele, atunci când q = 0) Această soluție se bazează pe gradul de proprietate. orice număr pătrat este un număr non-negativ, în care fiecare pătrat a unui număr nenul este un număr pozitiv și pătratul numărului este zero dacă și numai dacă numărul de bază este zero. Aceasta este, d 2 ≥0 pentru orice număr d. în care d 2> 0 pentru toate d ≠ 0. și d 2 = 0 dacă și numai dacă d = 0.

Deci, să q - număr negativ. Valoarea expresiei (x-p) 2 sunt întotdeauna proprietăți efect non-negative ale pătratului menționat mai sus. Prin urmare, inegalitatea (x-p) 2> p, și (x-p) 2 ≥p valabilă pentru toate valorile lui x. Prin urmare, soluția lor este orice număr real. La rândul său, inegalitatea (x-p) 2

Rezolvarea inegalității quadratic x 2 + 4 · x + 5> 0.

Isolate un pătrat complet în porțiunea din stânga a inegalităților pătrat: x 2 + 2 · 2 · x + 2 2 -2 2 5> 0. (X + 2) 2 + 1> 0. și transfera unitatea la partea dreapta (x + 2) 2> -1. Această inegalitate echivalentă cu inegalitatea pătrat original. Soluția lui este orice număr real, deoarece valoarea expresiei de pe partea stanga este non-negativ pentru toate x. și pentru orice x inegalitate (x + 2) 2> -1 este valid. În consecință, soluția inegalității inițiale să fie, de asemenea, orice număr real.

Pentru q> 0

Rămâne să se ocupe cu soluție inegalitățile (x-p) 2 și q (x-p) 2 cu un q ≥q pozitiv.

În centrul decizia lor se bazează pe două proprietăți ale rădăcinii. pentru numere întregi pozitive u și v, inegalitatea u, ≥) inegalitatea (≤,>, ≥) și pentru orice t ecuație număr real deține. Aceste proprietăți ale inegalității (x-p) 2 , ≥) permit să meargă la inegalitatea irațional echivalentă și inegalitatea pe modulul (≤,>, ≥).

Inegalități cu modulul de obicei sunt rezolvate prin deschiderea modulului. De exemplu, din inegalitățile pot merge la cele două sisteme de inegalități și fără modulul. Pentru claritate, vom rezolva un exemplu.

Rezolvarea inegalității quadratic x 2 -6 · x-7> 0, prin furnizarea unui binom pătrat.

Selectați pătrat binom pe partea stanga: x -2 · 2 · x + 3 2 3 2 -3 -7> 0. (X-3) 2 -16> 0. și trageți -16 termen în partea dreaptă, cu semnul plus, obținem (x-3) 2> 16. Și acest lucru este echivalent cu inegalitatea, și mai mult | x-3 |> 4. Acum vom scăpa de modul, care trece la setul soluție a celor două sisteme de inegalități,

Astfel, soluția de pătrat original este inegalitate x<−1. x>7.

Vom arăta un alt destul de confortabil, și cel mai important - un bun, mod de a rezolva inegalitățile de forma (≤,>, ≥), elimină necesitatea soluției sistemelor. Ea se bazează pe semnificația geometrică a modulului.

În modul de interpretare geometrică | x-p | - distanța pe axa coordonata punctului cu coordonate x la un punct la p. Prin urmare,

Satisface coordonatele inegalității tuturor punctelor axei de coordonate care distanța până la punctul de coordonate p mai mic decât. Să ne ilustra acest lucru:

Adică, deciziile sale sunt numerele din intervalul.

Inegalitatea este valabil pentru toate aceste x. la care distanța de la punctul cu coordonate p mai mică sau egală cu.

În acest caz, soluția inegalității este scris ca.

În rezolvarea inegalității ne interesează în acești termeni, distanța la care din punct cu p coordonatei. mai mult.

soluție Inegalitatea în acest caz, este după cum urmează :.

În cele din urmă, inegalitatea reprezentată în următoarea geometric desen

Iar soluția inegalității este stabilită.

Acum, pentru comparație rezolva exemplul de mai sus, pe baza calculelor doar date.