radix (5)
Sistemul de numerație este o colecție de nume și metode de numere de scriere. În orice sistem pentru a reprezenta numere selectate de unele dintre personaje (numite figuri), iar celelalte numere sunt rezultatul oricăror operațiuni privind numărul sistemului numeric.
Sistemul se numește pozitional. dacă valoarea fiecărei cifre (greutatea sa) se modifică în funcție de poziția (pozițiile) în secvența de numere, reprezentând numărul.
Numărul de unități de descărcare de gestiune, unite într-o mai semnificativ bit este numit notația pozițională de bază. Dacă numărul de cifre egal cu P. sistemul numeric este denumit-P ary. Radix coincide cu numărul de cifre folosite pentru a înregistra numere în această notație.
Scrierea unui număr x arbitrar în poziția P sistem numeric pozițional -ary se bazează pe reprezentarea acelui număr ca polinom
Aritmetică asupra numerelor în orice sistem numeric pozițională, fabricate de aceleași reguli ca sistemul zecimal, deoarece acestea sunt toate bazate pe regulile de punere în aplicare a acțiunilor peste polinoame corespunzătoare. Ar trebui să utilizeze numai acele tabele de adunare și înmulțire, care corespund unui sistem numeric P bază dat.
La transferul numerelor din sistemul zecimal în baza P> 1 utilizați în mod obișnuit următorul algoritm:
1) În cazul în care se transferă partea întreagă, este împărțit în P. rest apoi stocat de divizare. Coeficientul rezultat este împărțit de reziduu P. nou memorat. Procedura continuă atâta timp cât câtul devine egală cu zero. Reziduuri rezultate modulo P sunt scrise în ordine inversă la prepararea lor;
2) Dacă partea fracționară tradusă, apoi este înmulțit cu P. după care partea integrală este stocată și îndepărtată. a primit din nou partea fracționară se înmulțește cu P, etc. Procedura continuă atâta timp cât partea fracționară devine zero. Întregul adesea prescris după virgulă, în ordinea în care sunt primite. Rezultatul poate fi fie finit sau o fracție periodică în sistemul numeric cu baza P. Prin urmare, atunci când fracția este periodică, este necesar să se rupă multiplicarea prin orice pas, iar conținutul aproximativă cu înregistrarea numărului inițial în sistem cu bază P.
În acest sistem, 10 cifre 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, dar poartă informații nu numai o cifră, ci și locul în care cifra este (adică poziția sa). Cifra de numărul din dreapta indică numărul de unități, a doua la dreapta - numărul zecilor, următoarele - numărul de sute etc.
10 = 3 333 * 100 + 3 * 10 + 3 * 1 = 300 + 30 + 3
Rețineți că alegerea 10 ca radix explicat prin tradiție, mai degrabă decât unele proprietăți remarcabile 10. În general, reprezentarea numărului N în notația p ary este:
În Babilon, de exemplu, a folosit o notație de 60-hexazecimală, alfabet conține numerele de la 1 la 59, numărul 0 nu a fost, tabele de multiplicare au fost foarte greoaie, așa că foarte curând a fost uitat, dar ecourile fostei sale prevalenta se poate observa acum - diviziunea ore timp de 60 minute, împărțirea cercului de 360 de grade.
Sistem număr binar
Sistemul număr binar a fost inventat de matematicieni și filosofi înainte de apariția calculatoarelor (XVII -. XIX). a declarat matematician Remarcabil Leibniz. „Calculul folosind doi cate doi este o știință majoră și generează noi descoperiri în reducerea numărului de la principii simple, care sunt 0 și 1, peste tot există ordine minunată.“. Mai târziu, sistemul binar a fost uitat, și abia în 1936 - 1938 ani de inginer american și matematician Klod Shennon a găsit o utilizare minunată a sistemului binar în proiectarea de circuite electronice. Luați în considerare exemplul unei reprezentări a numărului în sistem binar:
2. Scriem suma produselor de 0 și 1 corespunzătoare la o putere de 2 (a se vedea reprezentarea în număr notația p Ary.):
Există notatii, legate binar. Când lucrați cu calculatoare, uneori, trebuie să se ocupe cu numere binare ca numere binare încorporate în design de calculator. Sistemul binar este convenabil pentru calculator, dar este incomod pentru o persoană - prea mult timp pentru a înregistra numărul de incomod și amintiți-vă. Vino la ajutorul sistemului numeric, binar legate - octal și hexazecimal.
Și sistem de numărul de douăsprezece octal
Deși sistemul de număr zecimal este cel mai larg aplicabilă, aceasta nu înseamnă că este cel mai bun. Răspândită în mare parte datorită faptului anatomice că avem brațe și picioare, zece degete. În ceea ce privește principiul și poziția indicației numerice, acestea pot fi la fel de bine adaptat la orice sistem numeric cu baza, indiferent dacă acesta este egal cu 2, 10 sau un alt număr întreg pozitiv, cu excepția unității. De exemplu, substituind reprezentarea polinomul 7x 1 + 6x 2 + 5x 0 + 4x -1 + 3x -2 în locul valorii x 10, obținem numărul de 765.43 în sistemul nostru obișnuit zecimal. Dar, fără nici o atingere principiului notația pozițională a numerelor întregi și fracții în loc de x poate fi substituit cu orice alt număr întreg pozitiv. În loc de numărul 10 ca radix cel mai adesea propus utilizarea unui număr de 8 și 12. Sistemele obținute în cadrul unor astfel de substituții sunt cunoscute ca octal și duodecimal. Octal pentru variabila x în reprezentarea polinomială ar trebui să înlocuiască 8, și apoi un număr egal cu 765.43 în zecimal, octal ar fi egal (8 2) + 6 (8 1) + 5 (8 0) + 4 (8 -1) + 3 (8 -2), adică număr. Sistemul duodecimal este aceeași reprezentare ca polinomul x = 12 dă (12 2) + 6 (12 1) + 5 (12 0) + 4 (12 -1) + 3 (12 -2) sau în notație noastră obișnuită. În ceea ce privește calculele, atunci toate cele trei sisteme de numerație, zecimal, octal și duodecimal, a făcut practic în același mod și cu aceeași ușurință. Diferența constă în principal în tabelele de adunare și înmulțire, deoarece acestea variază de la un sistem la altul notație. De exemplu, suma șapte plus șapte este egal cu suma opt plus șase în octal, zece plus patru - decimal doisprezece plus doi - în duodecimal. Simbolic, suma și produsul poate fi scris după cum urmează:
Vedem că trecerea de la zecimal în octal sau duodecimal are nevoie de o revizuire completă a tabelelor de adunare și înmulțire; Acest lucru explică de ce propunerile pentru trecerea la acest sistem de numerotare nu este larg acceptată. Beneficiile de a fi obținute din această tranziție, compensate de dificultățile asociate acesteia. Principalele avantaje ale sistemului de numerație octal și duodecimal asociat cu divizibilitatea bazelor lor. Luând în considerare numai numere întregi, mai puțin de jumătate din baza (deoarece nici un număr unic nu poate fi un factor de bază, în cazul în care acest număr este mai mult de jumătate din bază, dar mai puțin de ea), este ușor de înțeles că numărul 10 are două divizori - numerele 3 și 4, în timp ce în octal sistem, doar o divizorul mai mică decât jumătate din bază, este sistemul duodecimal numărul 3 și într-o divizori bază unică este egal cu numărul de 5. în alte cuvinte, numărul de margine 12 ca radix este că are un număr de separatoare 2, 3, 4 și 6,iar numărul 10 este numărul de separatoare de 2 și 5. Numărul 8 are separatoare numai cu numerele 2 și 4, dar principalul avantaj asupra altora în faptul că duce invariabil continuu de împărțire în două la o reprezentare fracționată „unică“ în formă polinom. De exemplu, în cazul în care 8 împărțit la 2 10 rezultatul ar fi exact egal cu (0,004) 8. întrucât, în cazul în care 12 împărțit la 10. 2 obținem (aproximativ) (0.0183) 12. și este egală cu (0.0097656) 10 când împărțit la 2 la 10 din 10 rezultate (de asemenea, aproximativ).
În metrologie este foarte important număr factorability (factoring capacității de descompunere), motiv pentru care 8 și 12 joacă un rol proeminent în sistemul non-metric de greutăți și măsuri. În fracțiunea bursele din SUA este de obicei exprimat în optimi, și timpul împărțit la 12, și utilizează în mod esențial unitățile de diviziune în 60 părți. Rolul special al numărului 60 în măsurătorile noastre de timp și unghiuri datorită faptului că în urmă cu circa patru mii de ani, babilonieni înțeles că numărul 60 are multe divizori, și l-au ales, nu numai ca bază a greutăților și măsurilor lor, dar, de asemenea, sistemul lor de număr. Principiul pozițională a intrat în uz în legătură cu șaizecelea, nu sistemul zecimal. Dar baza 60 are un dezavantaj serios: este prea mare pentru a fi utilizat într-o formă polinomială digitală modernă, așa cum aceasta ar avea nevoie de 60 de caractere diferite, care au desemnat primele șaizeci întregi non-negative. Mai mult, de adunare și înmulțire tabele ar include un număr de 1 la 59, ceea ce ar necesita o sarcină prea mare asupra memoriei. Același dezavantaj are orice altă bază mai mare de 12, astfel încât sistemul este duodecimal bază cel mai practic. Sistemul duodecimal Sheer impune introducerea a două numere noi - pentru a indica numerele 10 și 11. În acest scop, au fost propuse scrisori de e și t. Avantajul sistemului binar este că este necesar doar pentru două cifre, dar se află la celălalt capăt al scalei în ceea ce privește sistemul șaizecelea, pentru cele mai multe scopuri practice, fundația prea puțin și, prin urmare, numărul de caractere atunci când scrieți numere este prea mare în sistem binar. (A se vedea. Secțiunea anterioară.) Numerele 8, 10 și 12 sunt foarte aproape de radix valoare optimă și calculele în sistemele octal, zecimal și duodecimal efectuate relativ ușor.
Argumentele în favoarea sistemului de numerotare duodecimal nu trebuie confundat cu argumentele în apărarea sistemelor monetare și de metrologie duodecimal. Babilonienii deja conștientă de dorința de coerență notațiilor și a sistemului de metrologie. Cu toate acestea, utilizarea prelungită a sistemului zecimal, cu-doisprezece și shestidesyatidesyatirichnymi unități de măsură ascund problema incoerență. Mai mult decât atât, a existat tendința de a exagera dificultățile cu care ar putea da naștere la orice încercare de a le unifica. coerență internă, aparent, este mai important decât orice selecție a unui sistem de bază unică, fie că este vorba de 8, 10 sau 12. La momentul Revoluției Franceze, la reuniunile Comitetului Revoluționar de Măsuri și Greutăți, puncte de vedere au fost exprimate cu privire la introducerea de douăsprezece sisteme și măsuri greutăți, dar decizia finală a fost înclinată în favoarea unificării greutăților și măsurilor bazate pe sistemul zecimal. Rezultatul acestei decizii a fost sistemul metric, a primit acum de acceptare aproape universală.
În cazurile în care, împreună cu sistemul de număr zecimal utilizat în paralel douăsprezece și alte unități, în mod inevitabil, există o sarcină dificilă de traducere de la o unitate la alta.
Trebuie avut în vedere faptul că dificultățile tranziției de la un sistem la altul număr nu au nici o legătură cu avantajele sau dezavantajele de efectuare a operațiunilor aritmetice în întregime într-un singur sistem, indiferent dacă sistemul octal, zecimal sau duodecimal. Sistemul zecimal nu poate recunoaște avantajele mici alte două sisteme: octal are un volum mai mic de tabele de adunare și înmulțire și este deosebit de bine adaptat pentru a diviza de 2 și duodecimal convenabil pentru a realiza o operație de divizare și prezentarea fracții simple. Există destul de aceste beneficii, în scopul de a insista asupra universalitatii sistemului număr variabil - problema destul de controversată, dar fondată în 1944 de douăsprezece societatea America a devenit centrul de a uni oameni activi care ar dori să vadă numărul 12 joacă un fel de important rolul pe care, în multe civilizații din ultima jumătate de duzină milenii a jucat numărul 10.
sistem de numerație octal.
Atunci când un extern (în afara computerului) reprezentarea informațiilor numerice pentru a utiliza sistemul numeric binar cu înregistrările sale voluminoase incomode. În acest caz, folosit de multe ori octal.
În cifre octale sunt scrise de cele opt numere: 0,1,2,3,4,5,6,7, și ea a opt 10.Udobstvo sistem de numerație octal este faptul că tranziția de la octal în binar este foarte simplu: este suficient fiecare cifră octal să o înlocuiască cu o reprezentare binară (triadă binar), în conformitate cu tabelul de mai jos.
sistem de numerație octal
De exemplu, 5028 = 101 000 0102
Este destul de simplu și tranziția inversă de la binar C / C la octal. Pentru acest număr binar este necesar să se selecteze triada (stânga și dreapta zecimal) triada și înlocuiți fiecare cifră octal respectivă. În caz de necesitate triadei incomplet căptușit cu zerouri.
De exemplu, 1 111 1102 001 111 1102 = = 1768
Un sistem de numerație octal - întreg sistem numeric pozițional cu bază 8. Pentru a reprezenta numere se utilizează cifrele 0 până la 7.
Sistemul octal este adesea utilizat în domenii legate de dispozitivele digitale. Caracterizat printr-o octal de transfer de lumină la numere binare și invers, prin înlocuirea numere octale în tripleti binare. Anterior, utilizate pe scară largă în programarea și documentația generală de calculator, cu toate acestea, este acum înlocuit aproape în întregime de hexazecimal. În octal specifica permisiunile pentru comanda chmod în sistemele de operare Unix.
Una dintre primele companii de calculatoare personale, cum ar fi Apple II, Commodore 64, TRS-80, Motorola și IBM folosit 8 - microprocesoare de biți, care poate procesa opt biți de date per ciclu de ceas. Pentru tratamentul de mai mult de 8 biți care efectuează operații suplimentare.
Bit numit o singură cifră în sistem binar, tetradă - grup de 4 biți. Un grup de 8 biți. numite octeți. a intrat în „esența“ procesoare arhitectura logice toate generațiile ulterioare de microprocesoare (inclusiv 16, 32 și 64 de biți). Un octet poate reprezenta interval zecimal de valori de la 010 (000000002) la 25510 (111 111 112). De facto bytes au devenit o unitate de bază a cantității de prelucrare a informațiilor.
Compoziția oricărui microprocesor intră biți acumulator care de obicei coincide cu microprocesor de biți (CPU). Inițial, bateriile au fost de 8-biți, un singur octet în ele a fost un singur cuvânt (lungime cuvânt în acest caz - 8 biți). În general, cuvântul - un grup de biți prelucrate, o singură frază sau o comandă de microprocesor (CPU). Transferurile cu opt procesoare și locuri toate grupurile de date de 8 biți, care sunt transmise cu opt conductori ce constituie o magistrală de date, 16-biți - grupuri de 16 de biți (el cuvânt lungime de 2 octeți), etc.