punctul 30

manual electronic de geometrie

Capitolul 4. Liniile de ordinul doi în planul

§ 30. Construcția elipsei. Ecuația parametrică a elipsei.

Elipsa ca urmare a compresiei circumferențiale unuia dintre diametrele sale

Să presupunem și - două cercuri concentrice cu centrul în punctul și o rază () și și - două diametre perpendiculare reciproc ale cercurilor. Să - ray arbitrară emisă de puncte și. Să || . ; || . .

Să se rotește în jurul punctului de fascicul. Vom examina o multitudine de puncte. obținut prin această rotație. Introducem un sistem de coordonate cartezian rectangular :. Luați în considerare punctul. și exprimă prin intermediul și prin. În cazul în care. este evident că. dar. care este

A primit ecuația parametrică a setului de puncte. Excludeți opțiune. Pentru acest vozvedom pătrat și adăugate ambele părți ale ecuației (1):

Dar (2) - ecuația elipsei, adică toate punctele de set în cauză are un punct de elipsei, dar nu rezultă din aceasta mai mult, că (1) este ecuația setului considerat de puncte. Pentru a dovedi aceasta, trebuie să vă asigurați că orice punct al elipsei (1) face parte din setul considerat.

Teorema 49. Orice elipse, alta decât un cerc poate fi considerat ca imaginea unui cerc, atunci când conversia diametrul de compresie.

Să elipsă # 947; dat ecuația canonică

. Construirea unui cerc cu diametru; si lasa punctele - punctele de intersecție cu axa cercului. Luați în considerare transformarea într-o comprimare directă. în care. Să. a. atunci relația dintre și poate fi scrisă ca:

Luați în considerare imaginea care le-am construit un cerc cu o astfel de compresie. Deoarece cercul are ecuație. apoi, înlocuind de la (4) obținem:

Asta este, avem ecuația elipsei de pornire în noul sistem de coordonate (de-a lungul axei schimbarea la scară).

1 metoda (prin definiție). Ia-o bucată de fir și lungimea capetelor cap de pod în focarele. Dacă firul trage și vârful unui creion pentru a trage un fir exploatație linie calibrat, obținem o elipsă cu axa majoră și distanța dintre focare.

Metoda 2 (construcția semiaxes). Această metodă de construcție a punctelor elipsă enumerate la începutul acestei secțiuni, derivarea unei ecuații parametrice. Este necesar să se efectueze două cercuri concentrice cu raze și. după care, printr-o serie de raze mai mare circumferință deține axa mică paralelă directă și capetele razelor cercului mic - axa semimajore dreaptă paralelă. Punctele de intersecție obținute directe - există un punct al elipsei.