Proprietățile geometrice ale linia a doua comandă

Punctul C (3, -1) este centrul unui cerc pe linia cutoff 2x-5Y + 18 = 0 o coardă a cărei lungime este egală cu 6. Creați o ecuație a cercului. A se vedea soluția.

Elipsa este locul geometric al punctelor pentru care suma distanțelor la două puncte fixe în plan, numit focarele, este o constantă mai mare decât distanța dintre focii. Suma constantă a distanțelor de la orice punct al elipsei la focarele de obicei notată cu 2a. focarele elipsei desemnate prin literele F1 și F2. distanța dintre ele - prin 2c. Prin definiție, elipsă 2a> 2c sau a> c.

Să se dea o elipsă. În cazul în care axele carteziene sistemului de coordonate sunt alese astfel încât punctele focale ale elipsei sunt situate pe axa abscisei simetric în raport cu originea, în acest sistem de coordonate, ecuația elipsei este dată de

x ^ 2 / a ^ 2 + y ^ 2 / b ^ 2 = 1 (1)

unde b = sqrt (a ^ 2-c ^ 2); în mod evident, a> b. Ecuația formei (1) se numește ecuația canonică a elipsei.

Cu această alegere de sistem de coordonate, axele de coordonate sunt axele de simetrie ale elipsei și originea - centrul de simetrie (Fig.). axa de simetrie a elipsei se face referire pur și simplu ca axa sa, centrul de simetrie - un centru. Punctele la care elipsei traverseaza axei sale, se numesc nodurile sale. Fig. ABCD puncte elipsă vertex A 'A, B', B. Adesea elipsă axe sunt numite segmente A'A = 2a și 2b = B'B; împreună cu segmentul OA = o axă majoră numită elipsei, un segment OB = b - axa minoră.

Dacă focii elipsă sunt situate pe axa y (simetric în jurul originii), ecuația elipsa are aceeași formă ca și (1), dar în acest caz b> a; De aceea, dacă dorim litera A reprezintă o semiaxa mare, ecuația (1) trebuie să fie literele a și b interschimbate. Cu toate acestea, pentru comoditatea de probleme de limbă, suntem de acord cu litera și reprezintă întotdeauna o jumătate de linie, situat pe axa x, litera b - arborele planetar situat pe axa y, indiferent de faptul că mai mare, a sau b. Dacă a = b, atunci ecuația (1) definește un cerc care este tratat ca un caz special al unei elipse.

unde a - semiaxa mare, denumit excentricitatea elipsei. Evident, ε F1M = r1 și F2M = r2 (Fig.) Sunt razele focale ale punctului M. Raza focală poate fi calculată cu formulele

r1 = a + εx, r2 = a - εx

Dacă elipsa este definită prin ecuația (1) și a> b, apoi liniile

directrices numit elipsă (când b> o, directricea definită prin ecuațiile y = -b / ε, y = b / ε)

Fiecare directricea are următoarea proprietate: dacă r - distanța de la punctul arbitrar la un focar al elipsei, d - distanța de la același punct la unilateral cu acest accent directricea, raportul r / d este o constantă egală cu excentricitatea elipsei:

Excentricitatea elipsă e = 2/3, raza punctului focal al elipsei este egal cu M 10. Se calculează distanța de la punctul M la unilaterală această focalizare directricea. A se vedea soluția.

Excentricitatea elipsă e = 2/5, distanța de la punctul de elipsei la directricea este 20. Se calculează distanța până la punctul M la punctul central, unilateral cu acest directricea. A se vedea soluția.

Un hiperbolă este locul geometric al punctelor pentru care diferența dintre distanțele până la două puncte fixe în plan, numit focare, este constantă; această diferență este luată de o valoare absolută și este notată cu 2a. Focalizează hiperbolă desemnate prin literele F1 și F2. distanța dintre ele - prin 2c. Prin definiție hiperbolă 2a x ^ 2 / a ^ 2 - y ^ 2 / b ^ 2 = 1

unde b = sqrt (c ^ 2 - a ^ 2). Ecuația formei (1) se numește ecuația canonică a unui hiperbolă. Cu această alegere de sistem de coordonate, axele de coordonate sunt axele de simetrie ale hiperbola și originea - (. Fig) centrul de simetrie. Axa de simetrie a hiperbola menționată pur și simplu ca axele sale de centrul de simetrie - centrul hiperbola. Hiperbolele traversează una dintre axele; punctele de intersecție sunt numite vârfurile hiperbola. Fig. ABCD puncte hiperbolă vertex A „și A.

Dreptunghi cu laturile 2a și 2b, dispuse simetric în raport cu axa hiperbola și raportarea la nodurile, numite hiperbola dreptunghi de bază.

O lungime de 2a și 2b, care leagă punctele mediane ale principale hiperbola dreptunghi, numit, de asemenea, axele sale. diagonal principal al dreptunghiului (cele extinse la infinit) sunt asymptotes de hiperbolă. ecuațiile lor sunt

-x ^ 2 / a ^ 2 + y ^ 2 / b ^ 2 = 1 (2)

determină o hiperbolă, simetric față de axele de coordonate, cu focare pe ordonată; Ecuația (2) ca ecuația (1) se numește ecuația canonică a unui hiperbolă; În acest caz, o diferență constantă de distanțele față de orice punct pentru focarele hiperbola este 2b.

Două dintre hiperbola, care sunt determinate de ecuațiile

x ^ 2 / a ^ 2 - y ^ 2 / b ^ 2 = 1, -x ^ 2 / a ^ 2 + y ^ 2 / b ^ 2 = 1

în același sistem de coordonate, numit conjugat.

Hiperbolă semiaxes egale (a = b) se numește echilateral; ecuația canonică este

în cazul în care a - distanța de la centrul hiperbola sus sa, numită excentricitatea hiperbola. Evident, pentru oricare dintre gruparea e hiperbolă> 1. Dacă M (x, y) - un punct arbitrar al hiperbola, F1M segmente de linie și F2M (.. A se vedea figura) sunt numite punctului focal raze M. punct focal raze de dreapta ramură hiperbola se calculează prin formule

r1 = εx + o, r2 = εx - un

punctele focale ale razelor de ramura din stânga - formulele

r1 = -εx - o, r2 = -εx - un

Dacă hiperbolă dată de ecuația (1), atunci liniile definite de ecuațiile

numit directrices sale (vezi. fig.). Dacă o hiperbolă dată de ecuația (2), directricea definite de ecuațiile

Fiecare directricea are următoarea proprietate: dacă r - distanța de la punctul arbitrar la un focar de hiperbolă, d - distanța de la același punct la unilateral cu acest accent directricea, raportul r / d este o constantă hiperbolă egal ekstsentrisistetu:

Excentricitatea hiperbolă e = 2, raza punctului focal F, trase dintr-o focalizare este 16. Se calculează distanța până la punctul M la unilaterală această focalizare directricea. A se vedea soluția.

Excentricitatea hiperbolă e = 3/2, centrul său se află la originea, una dintre directrices dată de ecuația x = -8. Se calculează distanța de la M1 hiperbolă cu abscisa egală cu 10, la focalizarea corespunzătoare unei directricea predeterminate. A se vedea soluția.

Un parabole este locul geometric al punctelor pentru fiecare dintre care distanța până la un punct fix în plan, denumit punct focal, egală cu distanța până la o linie dreaptă fixă, numită directricea. Accentul parabolei desemnat de litera F, distanța de la focalizarea la directricea - litera p. Numărul p se numește parametru al parabolei.

Să se dea o parabolă. un sistem de coordonate carteziene dreptunghiular, astfel încât axa x trece prin punctul central al parabolei și perpendicular pe directricea a directricea a fost direcționată către focalizarea; Originea este situată la jumătatea distanței dintre centrul și directricea (Fig.). In acest sistem de coordonate, acest parabolică este definită de ecuația

Ecuația (1) se numește ecuația canonică a unei parabole. În același coordonate sistemul este directricea ecuației parabolei

Raza focală a unui punct M arbitrar (x, y) a unei parabole (adică lungimea segmentului F (M) poate fi calculat prin formula

Parabolei are o axă de simetrie, numita axa parabolei, care se intersectează într-un singur punct. Punctul de intersecție al parabolei cu axa numit vârful său. În cazul în care sistemul de coordonate de mai sus selectarea axa parabolei aliniată cu axa orizontală, vârful se află la originea, întreaga parabole se află în dreapta semiplanul.

Dacă sistemul de coordonate este aleasă astfel încât axa x aliniată cu axa parabolei, originea - cu un vârf, dar parabolei se află în stânga semiplanul (fig.), Ecuația sa va avea forma

În cazul în care originea este în partea superioară și este aliniată cu axa ordonatelor, parabolei va avea ecuația

dacă este în partea superioară a semiplanul (Fig.) și

în cazul în jumătatea inferioară (Fig.)

Fiecare din ecuația parabolei (2), (3) și (4) ca ecuația (1) este numit canonic.

Calculați punctul focal al razei M a parabolei y ^ 2 = 20x, în cazul în care abscisa punctului M este egală cu 7. A se vedea decizia.

Ecuația parabolei, în cazul dat accentul F (4, 3) și x-directricea 5 = 0 A se vedea decizie.

Ecuația polară a elipsei, hiperbolă, parabole

Ecuația Polar. Forma generală a elipsei, hiperbolă, și parabole, are forma

în care p, θ - coordonatele polare ale unui punct al liniei p - parametru focal (focal linie jumătate coardă perpendiculară pe axa acestuia), ε - excentricitatea (în cazul parabolei ε = 1). Polar sistem alese astfel încât pol este focalizată de coordonate, iar axa polară direcționată de-a lungul liniei de axe într-o direcție opusă celei mai apropiată focalizare directricea.

Având în vedere ecuația elipsei x ^ 2 / a ^ 2 + y ^ 2 / b ^ 2 = 1. Crearea ecuației sale polare cu condiția ca direcția axei polare coincide cu direcția pozitivă a axei x, iar polul este în centrul elipsei. A se vedea soluția.

Având în vedere ecuația hiperbola x ^ 2 / a ^ 2 - y ^ 2 / b ^ 2 = 1. Crearea ecuației sale polare cu condiția ca direcția axei polare coincide cu direcția pozitivă a axei x, iar polul este în centrul hiperbola. A se vedea soluția.

Având în vedere ecuația parabolei y ^ 2 = 2px. Creați ecuația sale polare cu condiția ca direcția axei polare coincide cu direcția pozitivă a axei x și pol este situat la vârful parabolei. A se vedea soluția.