Proprietățile de bază ale determinanților

Noi introducem conceptul de matrice: pătrat, diagonale, single și de zero.

Determinarea unei matrice pătratică: o matrice pătratică de ordine matrice de dimensiune n × n n-numit.

În cazul unei matrice pătratică se introduce conceptul de diagonalele principale și subordonate. Diagonala principală a matricei este diagonală, din colțul din stânga sus al matricei la colțul său din dreapta jos. În aceeași matrice diagonală secundară este diagonală din partea de jos stânga la colțul din dreapta sus. Conceptul de matrice diagonală: diagonală se numește o matrice pătrată, în care toate elementele din afara diagonalei principale sunt zero. Conceptul de matrice identitate: singur (uneori notată cu E I) se numește o matrice diagonală cu cele de pe diagonala. Noțiunea de matrice nulă: Zero este matricea ale cărei elemente sunt egale cu zero. Două matrici A și B se numesc egale (A = B), în cazul în care acestea sunt de aceeași mărime (adică au aceeași ordine ca număr și un număr egal de coloane și elementele respective sunt egale). Deci, în cazul în care atunci A = B, în cazul în care = a11 B11, A12 = b12, A21 = B21, A22 = B22

2) Conceptul determinantului (Determinarea determinantul ordinul al doilea și n-Nogo comanda Minor, cofactor)

matrice pătrată de numărul de ordine puse în corespondență. este determinantul matricei sau determinant.

De ordinul al doilea factor determinant numit vyrazhenievida:

Numerele A11, ..., A22 numit e l e m e t o m și determinant.

Diagonala elementelor formate a11; a22 se numește r n și n-lea, iar diagonala formată de elementele A12; A21 - n W o h n-lea.

Astfel, cea de a doua diferență de comandă este egală cu elementele determinante ale produselor principale și de diagonalele.

Rețineți că, ca răspuns la numărul de rotații.

Determinantul de ordinul n-lea. matricea corespunzătoare
,
este o sumă algebrică a termenilor compuse după cum urmează: termenii sunt toate produsele din elementele de matrice, luate câte unul din fiecare rând și fiecare coloană, termenul este luat cu semnul plus dacă se constată coduri constituie chiar permutare și cu semnul minus - în caz contrar.
Notă: această definiție pentru a explica un exemplu al treilea ordin determinant pentru care formula de calcul este deja cunoscut.
.
1) „suma algebrică a părților sale.“ - Și da, într-adevăr, există șase termeni.
2) „sunt termeni toate produsele posibile ale elementelor matricei, luate câte unul din fiecare rând și fiecare coloană“ - consideră de exemplu, pe termen lung. Primul său factor este luat din rândul al doilea, al doilea - de la primul și al treilea din al treilea. Este același lucru cu coloane - primul factor al primei coloane, al doilea de al treilea, și ultimul de-al doilea.
3) „iar termenul este luat cu semnul plus, în cazul în care indicele este chiar permutare, și cu un minus - în caz contrar,“ - Luați în considerare, de exemplu, termenii (cu un plus) și (semnul minus).

Formam o permutare, astfel încât prima linie sunt numere de linie de factori, iar în al doilea - numerele de coloană.
Pentru termenul. (Prima coloană - indicele primului factor, etc.)
Pentru termenul. .
Definim paritatea de permutări:
a) - elementele din primul rând sunt în ordine. A doua linie de ordine sunt o pereche:
2 din stânga 1 - o pereche,
3, in stanga - o pereche.
Total două perechi, și anume, numărul de perechi este chiar, atunci permutarea este chiar, și, prin urmare, termenul ar trebui să fie incluse în suma cu semnul plus (așa cum este de fapt).
b) - elementele din primul rând sunt în ordine. A doua linie de ordine sunt o pereche:
2 din stânga 1 - o pereche.
Numărul total de perechi de numere, cu care se confruntă, astfel încât mai mult din stânga jos - 1 buc. și anume ciudat, și, prin urmare, este numit permutare ciudat, iar termenul corespunzător trebuie să fie incluse în suma cu semnul minus (da, este).
Exemplu ( "Probleme în algebra" ed AI Kostrikina, №1001.):

Aflați care dintre aceste lucrări sunt incluse în expresia detaliată a factorilor care determină ordinelor corespunzătoare și cu niște semne.
a)
Să acorde o atenție la partea opredelnie „câte unul din fiecare rând și fiecare coloană.“ Toți factorii primele codurile variază de la 1 la 6 (1, 2, 3, 4, 5, 6). Toți indicii de factori doua variază de la 1 la 6, (3, 2, 1, 4, 5, 6).
Concluzii - Această lucrare face parte dintr-o expresie detaliată a 6-a determinantului ordine.
Determina semnul termenului pentru această formă permutarea indicilor factorilor:

3 din stânga 2, 1 - două perechi
2 din stânga 1 - o pereche,
6 lăsat 5, 4 - două perechi
5 lăsat 4 - o pereche.
Un total de 6 perechi, adică permutarea chiar și termenul face parte dintr-o înregistrare detaliată a determinantului cu un „plus“.

b)
Toți factorii primele codurile variază de la 1 la 5 (3, 1, 5, 4, 2). Toți indicii de factori doilea variază de la 1 la 5 (1, 3, 2, 5, 4).
Concluzii - Această lucrare face parte dintr-o expresie detaliată a 5-lea ordin determinant.
Determina semnul termenului pentru această formă permutarea indicilor factorilor:

Permuta coloanele, astfel încât numerele în primul rând au fost, în ordine, de la cel mai mic la cel mai mare.

3 la stânga de 1, 2 - două perechi.
4 din stânga 1, 2, - două perechi
5, stânga 2 - o pereche.
Total 5 perechi, adică permutare ciudat, iar termenul face parte dintr-o înregistrare detaliată a determinantului cu semnul „minus“.
c) - Fii atent la primul și al șaselea și factori. Ambele sunt din coloana 4, și, prin urmare, această lucrare nu poate fi inclus în expresia extinsă a 7-a determinantului ordine.

Minor și cofactor

Minor la elementul determinant este determinant de ordinul -lea ordin derivată din sursa prin ștergerea rândului i-lea și coloana j-lea.

Cofactori la elementul determinant este numărul de ordine

Suma produselor de elemente prompt „arbitrar“ pe elementele cofactori rândul al determinantului -lea este egal determinant, în care, în loc de rând -lea este înregistrat „arbitrar“ prompt.

Suma produselor rândurilor elementelor determinante asupra cofactori a elementelor alt rând este zero.

Proprietățile de bază ale determinanților.

Tot ceea ce se spune liniilor se va aplica coloanei.

1 ° determinant său nu este modificat prin transpunerea unei matrice pătratică:

2 ° Factorul comun în linia poate fi luată ca un semn al determinantului.

Adică, dacă o matrice pătrată de comandă este înmulțită cu un număr diferit de zero. determinantul produsului matrice rezultată este determinantul matricei originale de numărul de putere egală cu ordinul matricelor.

4o Dacă fiecare element din orice rând al determinantului este egală cu suma a doi termeni, determinantul originală este egală cu suma a două determinanților care, în locul acestui rând sunt primele și al doilea termen, respectiv, iar liniile rămase coincide cu determinantul originală.

5 ° Dacă determinantul două rânduri sunt interschimbate, modificările determinante semnează.

6 ° determinant cu două rânduri egale este zero.

7 ° determinant cu două rânduri proporționale este zero.

8 ° determinant care conține un șir nul este zero.

9 ° factor determinant nu se modifică în cazul în care într-o anumită liniei sale pentru a adăuga un alt rând, înmulțit cu un numar.

10 ° matrice determinant superior (inferior) triunghiular este egală cu produsul dintre elementele sale diagonale.

11 ° determinant al unui produs de matrici este produsul determinanților: