Pentru a ajuta la craituire
dimensional spațiu - este un spațiu vectorial. în care există o bază finită - generare (complet) sistem liniar independent de vectori. Cu alte cuvinte, în acest spațiu există un sistem finit de vectori liniar independenți combinație liniară care pot fi reprezentate prin oricare din spațiul vectorial.
Baza - este (simultan) și minim de generare a sistemului (complet) și maximal liniar sistem independent de vectori. Toate bazele conțin același număr de elemente, care se numește dimensiunea spațiului vectorial.
dimensional spațiu în care produsul scalar a introdus elementelor sale se numește euclidian. dimensional spațiu în care o normă de elemente se numește finit-normalizat. Prezența produsului interior sau normă dă naștere unui metric finit dimensional.
Proprietățile spatii finit dimensionale
Fiecare element x finit spațiu X reprezentat în mod unic în forma
în care: - un câmp (sau frecvent), peste care X. spatiul tratat - baza de elemente. Rezultă din definiția bazei.
De asemenea, orice bază în spațiu euclidian se poate face prin utilizarea ortonormală Schmidt ortogonalizarea.
Toate bazele unui spațiu finit-dimensional compus din același număr de elemente. Această proprietate oferă dimensiune a spațiului bine definit.
Fie X - spațiu tridimensional și
Tot spațiu finit-dimensional de aceeași dimensiune sunt izomorfe.
În finit-dimensional spațiu euclidian E se numește o bază ortonormală. în cazul în care.
În orice bază ortonormală euclidian prostranstveEsuschestvuet.
1 # 61616;. Fie E dat unele, în general vorbind, baza non-ortogonale. În primul rând vom construi o bază de elemente reciproc ortogonale. construcție secvențială a acestor elemente va fi numit procesul de Ortogonalizarea bază.
Ia. Elementul va fi căutat în forma în care - o constantă. Este ales astfel încât,
este suficient să se
Rețineți că. Într-adevăr, ar trebui să fie o relație liniară, și că este contrar condiției acestor elemente care aparțin baza (a se vedea. Lema 7.2.2.).
2 # 61616;. Să presupunem acum că am ortogonalizat element și să ia ca element. Avem nevoie de asta. Apoi, din cauza presupunerea că avem
Noi acum arată că, în acest caz. Să presupunem contrariul :. Cu toate acestea, din moment ce toate elementele de construcție, există unele combinații de elemente liniare, am ajuns la o relație liniară, ceea ce contrazice ipoteza. În consecință ,.
3 # 61616;. procesul ortogonalizarea continuă până când toate elementele setului, după care normalizează suficient elementele recepționate pentru a obține baza ortonormal dorit.
Procesul de Gram-Schmidt ortogonalizarea pot fi aplicate la orice, inclusiv elemente dependente liniar, sistem de spațiu euclidian. Dacă ortogonalizuemaya sistem este dependentă liniar, apoi la un moment dat, vom primi un element de la zero, după gunoiul pe care o puteți continua procesul de ortogonalizarea.
Trecerea de la o bază ortonormală la altul.
Conform definiției 5.1.4. matrice care satisface relația, numita ortogonale, cu orice matrice ortogonale = rapoarte egale || E || și. În plus, în spațiul euclidian sunt următoarele teoreme.
matrice ortogonală (și numai ele) pot servi ca șabloane în tranziția de la o bază ortonormală la altul.
Luați în considerare două diferite baze ortonormală o matrice de tranziție de la prima la a doua bază E și. Deoarece în aceste unități de baze de matrice Gram, atunci raportul trebuie să fie egală sau mai mică. Deoarece matricea de tranziție non-singular, atunci, în cele din urmă, avem.
Extins de egalitate formă ia forma, care, în cazul particular a fost obținută în §2.9.
complement ortogonal.
Fie E setat un subspatiu E1. Luați în considerare E2 set # 61644; Elemente E x. ortogonale la toate elementele de E1.
În spațiu euclidian, setul de elemente E astfel încât numit complementul ortogonal al E1.
Ortogonala complementului podprostranstvayavlyaetsya dimensiune subspațiu dimensionale.
Fie E cu baza ortonormală date produs standard scalar și lăsați E2 complement ortogonală E1. Am ales o bază în E1. Apoi, de la starea de ortogonalitate a unui element arbitrar x # 61646; Fiecare E1 E2 urmează (vezi. Teorema 7.4.1.) Element, sau care, în formă de coordonate,
Acest sistem omogen de ecuații liniare (care este componente de celule necunoscute), care determină complementul ortogonal al E2. Ea are rang din cauza independenței liniare a elementelor. Apoi, prin Teorema 6.7.1. are soluții liniar independente care formează o bază de subspatiului E2.
Pentru fiecare element x # 61646; E2 a condiției de investigare este egalitate. Dar acest lucru înseamnă că pentru fiecare y # 61646; E1 este adevărat, adică, E1 este complementul ortogonal E2 în E.