Pendulum 1

Pendulum - Oscilatorul. care este un sistem mecanic. constând dintr-un punct material. situat pe un filament inextensibil imponderabilă sau pe o tijă fără greutate într-o intensitate a câmpului gravitațional uniform [1]. Perioada de oscilație naturală scăzută a lungimii pendulului matematic L este suspendat într-un mod fix câmp omogen de greutate din accelerația gravitațională g egală

și este independentă de [2] și amplitudinea de oscilație a masei pendulului.

pendul matematic plat cu un pivot - un sistem cu un singur grad de libertate. În cazul în care tija este înlocuită cu un fir extensibil, acesta este un sistem cu două grade de libertate de comunicare. Un exemplu de o problemă de școală, în care importante trecerea de la unul până la două grade de libertate.

Ecuația oscilații cu pendul

oscilații cu pendul matematic descris de o ecuație diferențială ordinară a formei

unde ω - constantă pozitivă, care este determinat de parametrii pendulului. x necunoscute (t) funcție - un unghi al pendulului la momentul t din poziția inferioară a echilibrului, exprimat în radiani; ω = g / L >>. unde L - lungimea de suspensie, g - accelerația gravitațională. Ecuația mică oscilație pendulului despre poziția de echilibru a inferior (.. N t ecuația armonică) are forma:

ecuațiile soluțiilor de mișcare

oscilații armonice

Pendulul, ceea ce face mici oscilații, pendulează. Aceasta înseamnă că graficul abaterii de la momentul t x este o sinusoidă. Deoarece ecuația de mișcare este un control obișnuit de ordinul doi, pentru a determina legea de mișcare a pendulului este necesar să se stabilească cele două condiții inițiale - poziția și viteza de care sunt definite două constante independente:

pendul neliniare

Pentru un pendul, vibratoare cu o amplitudine mare, legea de mișcare este mai complicată:

păcat ⁡ x 2 = κ ⋅ sn ⁡ (ω t; κ).> = \ varkappa \ cdot \ operatorname (\ omega t; \ varkappa),>

în cazul în care sn> - este sinusoidală Jacobi. pentru κ <1 он является периодической функцией, при малых ϰ совпадает с обычным тригонометрическим синусом.

Parametrul κ este determinat de expresia

Perioada de oscilație a unui pendul neliniare

în cazul în care K - integrală eliptică de primul tip.

Pentru calcule, practic, convenabile pentru a descompune integrala eliptică într-un rând:

unde T 0 = 2 π L g = 2 \ pi >>> - perioada de vibrații mici, a - unghiul maxim al pendulului de verticală.

La unghiuri de la 1 radian (≈60 °) cu o precizie acceptabilă (eroare mai mică de 1%) poate fi prima apropiere:

Mișcarea de-a lungul separatrix

mișcare de pendul de-a lungul separatrix este nonperiodic. Într-un punct infinit îndepărtat în timp, el începe să scadă de la cea mai înaltă poziție într-un aspect al unei rate zero, se câștigă treptat ei și se oprește, revenind la poziția inițială.

În ciuda simplității sale, pendulul matematic este asociat cu o serie de fenomene interesante.

• Dacă amplitudinea oscilației pendulului este aproape tt, adică mișcarea pendulului în planul de fază aproape de separatrix, apoi sub acțiunea unui mic sistem periodic forță motrice prezintă un comportament haotic. Aceasta este una dintre cele mai simple sisteme mecanice în care haosul este cauzat de perturbație periodice [4].
• Dacă punctul de suspensie nu este fixă, dar pendulează, atunci pendulul poate fi o nouă poziție de echilibru. În cazul în care punctul de suspendare fluctuează rapid în sus și în jos, pendulul devine poziție stabilă „cu susul în jos.“ Acest sistem se numește pendulul Kapitza.
• Condițiile la o rotație suficient de mare a Pământului planul suspensie de fire în care pendulează pendulul, se va roti încet în raport cu suprafața pământului în direcția opusă rotației Pământului (Foucault pendul).