O nouă formă de examenul final în matematică
Soluția patru opțiuni de locuri de muncă
În al patrulea rând printre sarcini, reprezentată în principal de două tipuri: o descriere a proprietăților acestei funcții de grafică și graficul de imagine a funcției pe descrierea acestuia. Unele dintre aceste sarcini pot fi luate în considerare dacă sunt repetate proprietăți ale funcțiilor înainte de întâlnirea sa cu funcțiile de cercetare folosind instrumentul derivat.
La determinarea proprietăților funcțiilor din graficele lor sunt presupuse a răspunsuri aproximative, cu toate acestea, înregistrarea nu reflectă în mod necesar.
13. Funcția y = f (x) dată de programul. specificați:
a) domeniului funcției;
b) pentru orice valoare a lui x funcției y nu are nici un derivat;
c) pentru orice valori xf „(x) <0, f '(x )> 0;
g) valorile maxime și minime ale funcției;
d) la un moment dat în grafic este paralelă cu tangenta la acesta abscisă.
a) domeniul funcției: [- 3.5; 6];
b) nu are funcție de derivat la capetele intervalului de [- 3.5; 6], iar în interiorul său punctul x = - 1,5;
a) f „(x) <0 при – 3,5
d) graficul are o tangentă paralelă cu axa x la (2.5, 4.5).
37. Funcția y = f (x) este setat la programul său. specificați:
a) domeniului funcției;
b) pentru orice xf valori (x) J = 0,5;
c) funcția punctului extremum;
g) creșterea perioadei și scăderea funcției perioadă;
d) valoarea maximă și minimă a funcției.
a) domeniul funcției: [- 3.5; 5];
b) f (x) 0,5 când x J = 1,5 și J 4 J 5 x;
c) punctul extremum funcției: x = - 1,5 și x = 3,5 - punct maxim, x = 1,5 - punctul minim;
g) creșterea intervale: [- 3.5; - 1.5] și [1.5; 3,5] descrescătoare intervale: [- 1.5; 1.5] și [3.5; 5];
d) cea mai mare valoare de 5,5; cel puțin: - 3.
Trasarea având proprietăți dorite
În îndeplinirea acestor sarcini, este util să rămânem la următoarea schemă. În primul rând, în conformitate cu informațiile prezentate la punctele a) și b), pentru a aloca un dreptunghi în care este închisă graficul dorit apoi desemnează intervale de creștere și descreștere, punctul maxim și funcțiile minime menționate punctele cunoscute pe grafic, și numai apoi să efectueze curba necesară.
3.4. Trasați graficul unei funcții continue, știind că:
a) domeniul funcției este intervalul de [- 3; 4];
b) constituie valori ale intervalului [- 2; 5];
c) în domeniul de capăt din stânga al funcției ia valoarea maximă;
g) 2 - punctul extremum unic al funcției.
Răspuns. Program ar putea arata ca, de exemplu, așa cum este prezentat în Fig.
Paragraful c) nu este aprobat, funcția numai în capătul din stânga al domeniului ia valoarea sa maximă. De exemplu, funcția „are dreptul“ de a lua cea mai mare valoare, iar capătul din dreapta al definiției câmpului. Pentru a exclude această posibilitate, litera c) se citește după cum urmează: „cea mai mare valoare Funcția sa ia capătul din stânga al domeniului.“
6. Desenați un grafic al unei funcții continue, știind că:
a) domeniul funcției este intervalul de [- 5; 2];
b) constituie valori ale intervalului [- 2; 5];
c) intervale de scăderea funcției [- 5; - 2] și [0; 2];
g) crește în intervalul [- 2; 0];
d) funcția are o valoare negativă numai în punctele intervalului (1; 2].
Raspuns: a se vedea imaginea ..
15. Desenați un grafic de a ști că:
a) domeniul funcției este intervalul de [- 2; 5];
b) constituie valori ale intervalului [- 5; 3];
c) derivatul funcției este pozitiv la (2, 5) este negativ (- 2, - 1) și (- 1 2);
g) zerourile funcției derivate: - 1 și 2;
e) zerouri: 0 și 3.
70. Desenați un grafic al funcției y = f (x), știind că:
a) domeniul funcției este intervalul de [- 5; 4];
b) constituie valori ale intervalului [- 4; 5];
a) f '(x)> 0 pentru toate x în intervalul (- 1, 2), f' (x) <0 для любого x из промежутка ( – 5; – 1) и (2; 4), f '(x ) = 0 при x = 2;
g) zerourile: - 1 și 3.
Găsirea derivata acestei funcții
Aceste sarcini se aplică formula de derivați și a regulilor de diferențiere.
5. Găsiți funcția derivat f (x) = 2x 2 + tgx.
Panta tangentei
A patra locuri de muncă Partea apare panta tangentei la grafic. Deoarece este valoarea derivatului, soluția se reduce la găsirea derivata formulelor și calcularea valorii sale.
11. Găsiți panta unei tangente la graficul funcției f (x) = x - LNX la punctul său cu abscisa x = 3.
22. Dana funcția f (x) = 2x 2x + 1. Localizați coordonatele graficului în care panta unei tangente la acesta este 7.
24. Funcția Dana Localizați coordonatele punctelor orar la care tangenta paralel cu acesta la abscisă.
Decizie. Tangenta trase la funcția de grafică, la un moment dat în el paralel cu abscisa, în cazul în care:
1) coeficientul său unghiular (valoarea derivatului la acest punct) este zero,
2), acest punct nu se află pe axa x,
67. Găsiți derivata funcției f (x) = x 3 LNX.
Intervale de creștere, scădere a funcției
Pentru a găsi lacunele în creștere sau în funcție de condițiile suficiente în scădere sunt utilizate - în intervalul în care derivatul este mai mare decât zero, creșterile funcției, care este mai mică de zero - scade. Trebuie amintit că, dacă, de exemplu, derivatul este mai mare decât zero la (a, b), iar funcția este continua pe [a; b], intervalul creșterii sale [a; b].
În îndeplinirea acestor sarcini, găsiți primul derivat al acestei funcții, atunci vom determina intervalele la care își asumă valori pozitive și negative, la care, în cele din urmă și scrie creșterea intervalelor și (sau) scădere.
16. intervale Gaseste cresterea functiei f (x) = 3x 3 - 3x 2 + 5.
Deoarece f (x) - o funcție continuă, aceasta crește la intervale
Valorile maxime și minime ale funcției în intervalul
modul standard de a găsi cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții continue la intervalul constă în calculul valorilor la capetele perioadei sale și la punctele critice în interstițiul și apoi selectând cea mai mare și cea mai mică dintre ele. Cu toate acestea, în cazul în care funcția dată este un trinom, este posibil să se utilizeze cunoștințele școlare de bază a proprietăților sale.
20. Găsiți cea mai mică valoare a funcției f (x) = 3x 2 + 18x + 7
în intervalul de [- 5; - 1].
Soluția de rezolvare 1. Punctele critice ale funcției: f '(x) = (3x + 18x + 2 7)' = 6x + 18.
Există Derivata pentru toate valorile lui x.
f „(x) = 0, 6x + 18 = 0, x = - 3 - singurul punct critic într-un anumit interval de [- 5; - 1].
f (- 5) = 2, f (- 1) = - 8, f (- 3) = - 20 - cea mai mică valoare.
Soluția 2: Graficul acestei funcții este un parabole ale cărui ramuri sunt îndreptate în sus, iar cea mai mică valoare a funcției egală cu ordonata vârful parabolei. Vertex are abscisa număr egal - 3 inclusă în perioada specificată, atunci cea mai mică valoare a funcției pe intervalul [- 5; - 1] este egal cu f (- 3) = - 20.
opțiuni de locuri de muncă soluție a cincea
locuri de muncă cincea continuă să se dezvolte în al patrulea rând de locuri de muncă cu instrumente financiare derivate. problema Adaugata de a găsi primitivelor și calcularea zonelor de trapeze curbilinii.
25. Care dintre aceste funcții sunt în creștere pe domeniul său: y = sinx. y = x + 1, y = e x?
Funcția y = sinx scade, de exemplu, în intervalul. altele sunt funcții în creștere: y = x + 1 - funcție liniară, cu o pantă pozitivă, y = e x - funcție exponențială cu o bază mai mare decât una, - proprietățile kvadratnyx rădăcini.
41. Care dintre aceste funcții pentru a reduce întregul domeniu: y = 3x + 2, y = - 5x + 9, y = x 2. y = - x 3 + x.
Reshenie.y = 3x + 2 - crește ca o funcție liniară, cu o pantă pozitivă, y = - 5x + 9 - scade ca o funcție liniară, cu o pantă negativă, y = x 2 - x i crește la 0 ° C.
Derivata funcției y = - x 3 + x. y „= - 3x 2 + 1 este pozitiv, de exemplu, în golul. De aceea, în acest interval functia y = - x 3 + x crește.
15. Găsiți punctul extremum al funcției f (x) = 2x 3 - 3x 2 - 1.
Reshenie.f '(x) = (2x 3 - 3x 2 - 1)' = 6x 2 - 6x. Există Derivata pentru toate valorile lui x. înseamnă la punctele extremum este zero: 6x 2 - 6x = 0, x (x - 1) = 0, punct critic x = 0 și x = 1.
Trecând prin 0, modificările derivate de la semn „+“ la „-“, 0 - punctul maxim. În cazul în care trece prin 1 modificările derivate semn de la „-“ la „+“, apoi 1 - un punct minim.
A: maxim Punctul x = 0, punctul de minim x = 1.
Exerciții folosind conceptele primitive
1. Găsiți toate primitivele funcției f (x) = x 4 + 3x 2 + 5.
Oricare dintre primitivele este după cum urmează:
34. Funcția Find, care este un derivat al funcției f (x) = 2x + x 2.
Decizie. Trebuie să găsim toate primitivele funcției f (x).
În unele locuri de muncă dintr-o varietate de primitive trebuie să aleagă cel al carui grafic trece printr-un anumit punct.
21. Găsiți funcția primitivă f (x) = 3x - 5, în care graficul trece prin punctul (4; 10).
Program primitiv necesar trece prin punctul (4; 10), înseamnă, F (4) = 10,
28. Dacă funcția F (x) = x 3 + 3x - 5 primitive Funcția f (x) = 3 (x 2 + 1)?
Soluția de rezolvare 1. Să ne găsim derivata funcției F (x). Dacă se potrivește cu funcția pe Dana f (x), atunci F (x) - primitivă a lui f (x), în cazul în care nu există - nu primitiv.
Răspuns: F (x) este o primitivă f (x).
Soluția 2. Orice primitivă f (x) are forma
Luând C să fie - 5, obținem F (x).
32. funcția F (x) = x 4 - 3x 2 + 1 primitiv pentru funcția f (x) = 4x 3x 2 + x?
Răspuns: F (x) nu este o primitivă f (x).
Zona trapezului curbilinii
Atunci când sarcinile care efectuează ar trebui să reprezinte trapezul curbilinie.
5. Localizați aria figurii delimitate de graficul funcției f (x) = x 2 + 5x + 6 linii x = - 1, x = 2, iar axa abscisă.
Noi reprezentăm trapezul curbilinie.
Să ne găsim o anumită funcție primitivă f (x) = x 2 + 5x + 6:
Găsiți zona trapezului curbilinie ca o creștere a primitiv: