O metodă de rezolvare a problemelor de forma - folosind definiția limitelor secvențelor, demonstrează egalitatea

Luați în considerare metoda de rezolvare exemplul următor $$ \ lim_ \ frac = \ frac $$ Recall definiția limitei unei secvențe.

Secvența \ (\) este numit convergentă. în cazul în care există un număr \ (a \), secvența \ (\) este infinitezimal. și anume \ (\ Forall \ varepsilon> 0 \ quad \ există N = N (\ varepsilon) \), astfel încât pentru toți \ (n> N \) elemente \ (x_n \), această secvență satisface \ (| x_n-o | <\varepsilon \). При этом число \(a\) называется пределом последовательности \(x_n\), что символически записывается так: $$\lim_x_n=a$$ Хочу обратить внимание на основные моменты из определения, которые понадобятся при доказательстве.

1. Dacă vorbim \ (\ forall \ varepsilon> 0 \), aceasta înseamnă că orice mod arbitrar mic \ (\ varepsilon> 0 \).
   
2. Dacă vorbim \ (\ exista N = N (\ varepsilon) \), aceasta înseamnă că mai mic \ (\ varepsilon \), cu atât mai mare va fi \ (N (\ varepsilon) \).
   

Deci, avem relația dintre \ (\ varepsilon \) și \ (N \). Esența dovezii este redusă la determinarea acestei dependențe, adică dacă vom găsi \ (N (\ varepsilon) \), pentru care inegalitatea \ (| x_n-o | <\varepsilon \), то это и будет доказательством того, что последовательность имеет предел равный \(a\).

Vom proceda la dovada. Noi scrie inegalitatea, în conformitate cu definiția \ (| x_n-o | <\varepsilon \) $$|\frac-\frac|<\varepsilon => | \ Frac |<\varepsilon $$$$|\frac|<\varepsilon =>\ frac<\varepsilon$$$$\frac <2n^2+3 =>\ Sqrt- \ frac> \). și anume am găsit \ (N = N (\ varepsilon) \), astfel încât pentru orice \ arbitrar mic (\ varepsilon> 0 \) pentru toate \ (n> N \) elemente \ (x_n \) a acestei secvențe satisface inegalitatea \ ( | x_n-o | <\varepsilon \).