O colecție de probleme de algebra

polinom pătratic III

§ 60. Valoarea extremă funktsiiu = ax 2 + bx + c

Cea mai mică sau minimă, a tuturor valorilor pe care le primește funcție pătratică y = ax 2 + bx + c. geometrically poate fi interpretat ca ordonata cel mai de jos punct al parabolei y = ax 2 + bx + c (figura 81.), și cea mai mare, sau maxim, valoarea - ca ordonată de cel mai înalt punct al parabolei y = ax 2 + bx + c (Figura 82). .

Dacă a> 0, y = ax parabolei 2 + bx + c merge în sus fără (Fig. 81). În acest caz, cel mai înalt punct al parabolei nu există. Prin urmare, există și valoarea maximă a funcției y = ax 2 + bx + c. Dar, în acest caz, există cel mai jos punct al parabolei - partea de sus ei. Prin urmare, există o funcție de valoarea minimă. Această valoare minimă (va fi desemna Ymin) este egală cu ordonata vârful parabolei. Abscisa acestei vertex (hmin notat dă valoarea argumentului x. La care minimul funcției y = ax 2 + bx + c.

În cazul în care un <0, то парабола у = ах 2 + bх +с уходит неограниченно вниз (рис. 82). В этом случае самой низкой точки параболы не существует. Поэтому не существует и минимального значения функции у = ах 2 + bх +с . Зато существует самая высокая точка параболы — ее вершина. Следовательно, существует максимальное значение данной функции. Это максимальное значение (мы будем обозначать его ymах ) равно ординате вершины параболы. Абсцисса этой вершины (обозначим ее хmах ) дает то значение аргумента х . при котором достигается максимум функции у = ах 2 + bх +с .

În § 57, sa constatat că vârful parabolei y = ax 2 + bx + materie c polozhitelnoa sau negativ, are coordonatele:

Prin urmare, putem spune că, dacă a> 0, atunci funcția y = ax 2 + bx + c este minimă; cea mai mare valoare a acestei funcții nu există.

În cazul în care un <. 0, то функция у = ах 2 + bх +с принимает наибольшее значение

cea mai mică valoare a funcției, în acest caz nu există.

Valorile minime și maxime ale funcției numite altfel extreme.

Exemplul 1. Găsiți valoarea extremă a funcției y = 2x 2 - 4 - 17, și indică la ce valoare a lui x este funcția ia o valoare extremă.

Deoarece coeficientul lui x 2 este pozitiv, atunci funcția dată are o valoare minimă. Valoarea maximă pe care o are. Pentru a determina valoarea minimă a coordonatelor de vârf al parabolei găsim y = 2x 2 - 4 - 17. Pentru a face acest lucru, selectați un pătrat perfect:

Concluzionăm că coordonatele vertexul parabolei sunt: ​​x = 1, y = -19. (Aceste coordonate sunt, desigur, poate fi obținut prin (1), în cazul în care au pus o = 2, b = -4, C = -17).

Prin urmare, valoarea minimă a funcției y = 2 cu 2 - 4-17 este egal cu -19. Acest lucru se realizează atunci când x = 1.

Exemplul 2. Găsiți valoarea extremale a funcției y = - x 2 - 4 + 6 și determină la ce valoare a argumentului x este atins.

Deoarece coeficientul lui x 2 este negativ, această funcție are o valoare maximă. Valoarea minimă are. Pentru a găsi valoarea maximă, selectați un pătrat perfect:

Din aceasta putem concluziona că valoarea maximă a acestei funcții este egală cu 10. Se realizează atunci când x = - 2.

Găsiți valorile extreme ale acestor funcții și pentru a indica la ce valori ale argumentului în care sunt atinse (№ 434-437).

438. Dovedește că în cazul în care suma dintre cele două cantități este constantă, proizvedinie lor posibilă dacă și numai dacă, atunci când aceste variabile iau aceeași valoare. (Această afirmație este o generalizare naturală a teoremei asupra sumei unei constante în cazul în care există, nu doar valori pozitive,. A se vedea capitolul I, § 17.).