Numărul e

Teorema. Secvența cu termenul general are o limită finită.

Notă. Simbolul e este folosit pentru a se referi la această limită.

Numărul e este irațional, valoarea aproximativă a ceea ce este egal cu

Dovada. Noi mai întâi arată că este o secvență monoton crescătoare. Potrivit binomu Newton

expresii comparabile și.
În primul rând, aceste două expresii conțin termeni numai pozitive.
În al doilea rând, începând de la al doilea termen, fiecare termen în expresia de mai mult decât termenul corespunzător pentru expresia, ca

În al treilea rând, expresia constă dintr-un mare număr de termeni. Prin urmare,

În continuare vom demonstra că secvența este limitată. Într-adevăr, primul membru al oricărei secvențe este cea mai mare monoton crescătoare său inferior legat și, astfel, pentru toate valorile pozitive ale lui n.

Demonstrăm acum existența limita superioară. Este evident că

În plus, pentru toate k> 3. Atunci

Partea dreaptă a acestei inegalități este o sumă de termeni de scădere exponențială. În orice număr de acte ca limita superioară a acestei sume. Astfel, secvența cu termenul general

Reprezintă o secvență monoton crescătoare delimitată și, prin urmare, are o limită finită - conform cu teorema secvențelor monotone.