Metode de integrare a funcțiilor trigonometrice

Integrarea funcțiilor trigonometrice inverse

Integralelor care conțin funcții trigonometrice inverse
arcsin φ. arctg φ. etc. unde φ - o funcție algebrică x. de multe ori integra de părți, considerând u = arcsin φ. u = arctg φ. etc.

Metode standard pentru integrarea funcțiilor trigonometrice

abordare generală

La început, dacă este necesar, integrandul trebuie să fie convertite în funcții trigonometrice dependente de un singur argument, care ar coincide cu variabila de integrare.

De exemplu, dacă este dependentă de păcat integrantul (x + a) și cos (x + b). este necesar să se facă conversia:
cos (x + b) = cos (x + a - (a-b)) = cos (x + a) cos (b-a) + sin (x + a) sin (b-a).
Apoi face substituția z = x + a. Ca rezultat, funcțiile trigonometrice va depinde numai de variabila de integrare z.

Atunci când funcțiile trigonometrice depind de un singur argument, care coincide cu variabila de integrare (să spunem că este z), atunci există integrandul constă doar din funcții, cum ar fi păcat z. cos z. tg z. CTG z. este necesar să se facă înlocuirea
.
Această substituție are ca rezultat integrarea funcțiilor raționale și iraționale (dacă există rădăcini) și vă permite să calculeze integral, în cazul în care acesta este integrat în funcții elementare.

Cu toate acestea, puteți găsi de multe ori alte metode care vă permit să se calculeze modul în care mai scurtă integrală, bazată pe specificul integrandul. Ceea ce urmează este un rezumat al principalelor unor astfel de metode.

Metode de integrare a funcțiilor raționale ale păcatului x și cos x

Funcția rațională a sin x și cos x - este funcția derivată din sin x. cos x și constante arbitrare folosind adunare, scădere, înmulțire, împărțire și ridicarea la o putere întreagă. Ele sunt notate ca: R (sin x, cos x). Acesta poate include, de asemenea, tangentă și cotangentă, pentru că acestea sunt formate prin împărțirea sinus și cosinus și vice-versa.
Integrale de funcții raționale au forma:
.

Metode de integrare a funcțiilor trigonometrice raționale după cum urmează.
1) Schimbare duce întotdeauna la o parte integrantă a unei fracții raționale. Cu toate acestea, în unele cazuri, există substituție (reprezentată mai jos), ceea ce duce la calcule mai scurte.
2) Dacă R (sin x, cos x) este multiplicat cu -1 înlocuind cos x → - cos x. se realizează substituția t = sin x.
3) Dacă R (sin x, cos x) este multiplicat cu -1 când înlocuiți sin x → - sin x. se efectuează substituție t = cos x.
4) Dacă R (sin x, cos x) nu este schimbat în mod simultan înlocuind cos x → - cos x. și sin x → - sin x. substituției t aplicabil = tg x sau t = ctg x.

Produsul a funcțiilor puterii de cos x si sin x

sunt integralelor funcțiilor trigonometrice raționale. Prin urmare, este posibil să se aplice metodele prezentate în secțiunea anterioară. Următoarele sunt metodele bazate pe specificul acestor integralelor.

Dacă m și n - numere raționale, una dintre substituții t = sin x sau t = cos x integral se reduce la o integrală a diferențialului binomial.

În cazul în care m și n - numere întregi, atunci integrarea este realizată folosind formulele de reducere:

Integralele produsului polinomiale și sinus sau cosinus

Integrale de forma:
.
unde P (x) - un polinom de x. integrarea de piese. Se obțin următoarele formule:

Integralele produsului polinomului, funcția exponențială și o condiție sine sau cosinusul

Integrale de forma:
.
unde P (x) - un polinom de x. integrat cu ajutorul formulei lui Euler
e IAX = cos ax ax + i sin (unde i = 2 - 1).
În acest scop, metodele descrise în paragraful precedent, se calculează integralei
.
Selectarea de rezultatul părții reale și imaginare, obținut pornind de integralele.

Metode non-standard de integrare a funcțiilor trigonometrice

Mai jos sunt o serie de metode non-standard care vă permit să efectueze sau să faciliteze integrarea funcțiilor trigonometrice.

Dependența de (a sin x + b cos x)

Dacă integrantul depinde de un păcat x + b cos x. este util să se aplice formula:
,
în cazul în care.

Descompunerea fracțiunii de sinus și cosinus la mai multe fracții simple

Luați în considerare integrala
.
Cel mai simplu mod de integrare este extinderea fracțiilor în cele mai simple, care se aplică transformarea:
sin (a - b) = sin (x + a - (x + b)) = sin (x + a) cos (x + b) - cos (x + a) sin (x + b)

fracțiunile de integrare de gradul I

La calcularea integrală
,
convenabil pentru a separa partea întreagă a fracțiunii și derivata numitorului
un 1 sin x + b 1 cos x = A (un sin x + b cos x) + B (un sin x + b cos x)“.
Constantele A și B reprezintă o comparație a stânga și dreapta.