Matrici și proprietățile lor
Capitolul 6 Matrici și proprietățile lor.
Definiție 1: O matrice se numește dreptunghiular tip tabel:
număr rânduri - m și numărul de coloane - n, numită dimensiunea matricei.
Definiție 2: suma matricelor A și B este o matrice de aceeași dimensiune C aceeași dimensiune astfel încât
Definiție 3: Produsul din numărul matricei A este o matrice A ale cărei elemente sunt Aij pentru toți i și j.
Definiție 4: Fie matricea A are o dimensiune, iar matricea B are dimensiune. Produsul a matricei A și matricea B este o matrice C = AB de dimensiuni astfel încât
Definiție 5: matrice pătratică se numește, dacă numărul de rânduri sale egal cu numărul de coloane.
Definiție 6: O formă de matrice pătrată:
Se numește matricea identitate E.
Proprietățile operației de înmulțire matrice.
1. A (BC) = (AB) C - asociativitatea.
2. A (B + C) = AB + AC - distributivitatii.
3. (A + B) C + BC = AC - distributivitatea.
4. - în cazul în care - numărul.
5. Dacă matricea unitate E = AE și EB A = B.
Trebuie remarcat faptul că operațiunea de multiplicare matrice nu are comutative.
6. Orice matrice A de dimensiune AT poate asocia cu matrice (matricea transportată la A) în dimensiune. AT rândurile - coloane A se menține ordinea lor. Mai mult decât atât, operația matrice de multiplicare are următoarea proprietate.
Dacă matricea este pătrată, este posibil să se calculeze determinantul unei matrice. Și cu determinantul matricei este strâns legată de conceptul de matrice non-singular.
Definiție 7: O matrice pătratică A este nesingular dacă determinant său este nenul.
Dăm o altă proprietate importantă a matricei. Se referă matricele inverse.
Definiție 8: În matricea pătrată a dimensiunii numită inversă dacă AB = BA = E. unde E - matricea identitate. Reprezentat prin matricea inversă A -1 adică B = A -1. Următoarea teoremă vă permite să setați una dintre modalitățile de a găsi matrici inverse.
Pentru orice nedegenerata matrice pătratică A are o matrice inversă în plus este calculată prin următoarea regulă.
unde - determinantul n ordine th pătrat matricea A de dimensiune.
Aij - factor determinant notat în plus cofactori la elementele care cofactori ale elementelor calculate liniile determinante aranjate în matricea inversă în coloana corespunzătoare.
Există un alt algoritm pentru a calcula matricea inversă, vom prezenta aici:
1. Asociați matricea dreptul la matricea identitate de dimensiuni adecvate.
2. Matricea elementară transformări rând transformă în forma.
3. A primit în prima jumătate a matricei B va fi inversul matricei A, care este B = A -1.
Mai jos vom lua în considerare un exemplu de aplicare a acestui algoritm.
Luați în considerare exemplele de rezolvare a problemelor la Capitolul 6.
Găsiți matricea C este suma celor două matrici A și B.
Găsiți produsul dintre numărul de A în cazul în care:
Unele firme implicate în vânzarea de bunuri în cele trei domenii. Datele cu privire la nivelul vânzărilor pe regiuni a mărfurilor formează o matrice A de dimensiune, rândurile corespunzătoare regiunii, iar coloanele - tipurile de mărfuri. Prețurile bunurilor comercializate formează matricea dimensiunea coloanei C.
Găsiți matricea P caracterizează totalul vânzărilor în funcție de regiune, în cazul în care:
Volumele de vânzări sunt date în mii. bucăți. Prețurile în ruble / mii de bucăți.
Pentru a găsi matricea R. O dimensiune matrice trebuie să fie multiplicat cu matricea C de dimensiune. Verificarea corespondenței deînmulțit matrici de dimensiuni, numărul de coloane ale matricei A este egal cu numărul de rânduri ale matricei. Astfel de matrici pot fi multiplicate. Dimensiunea rezultată P din matrice.
Astfel, matricea P dorită caracterizează totalul vânzărilor în zone are forma:
Având în vedere cele două matrici O dimensiune și dimensiunea B. Găsiți produsul matricelor A, B și C. Și dacă:
Găsim produsul matricelor AV verificarea conformității dimensiunile matricei A și matricea B se evidenția că matrice de multiplicare este posibil, și în rezultat vom obține dimensiunea matricei, adică o matrice care conține un singur element.
Acum vom găsi produsul matricea produsului VA acestor matrici este de asemenea posibilă, deoarece dimensiunea matricei și matricea A, iar matricea rezultată are o dimensiune
Găsiți matricea inversă pentru o matrice dată C dacă:
Înainte de a găsi C -1 determina dacă matricea C este non-singular. Pentru a face acest lucru, găsiți determinantul matricei C.
matrice nesingular este deci invers matricea C -1.
Pentru a putea folosi teorema de a găsi matricea inversă a cofactori va găsi toate elementele determinant.
Cunoașterea cofactori a determinantul matricei și scrieți matricea inversă C-1.
Corectitudinea calculelor poate verifica cu ușurință dacă găsiți un produs de matrice trebuie să obțină matricea de identitate E.
astfel încât calculele sunt efectuate corect.
Am găsit matricea inversă folosind algoritmul pentru a găsi matricea inversă.
Matricea C este definită
atribuie mărimea potrivită a identității matricei E obținem:
Realizăm linii de transformare de bază pentru a transforma matricea formei
D este inversa matricea rezultată a matricei C, adică:
Procesul de conversie în urma transformărilor matrice elementare au fost realizate:
1. Din rândul al treilea și al doilea rezultat consecutiv scăzute se înregistrează în locul celui de al treilea rând.
2. a) Primul rând înmulțit cu (-2) și stabilite în al doilea rând, rezultatul este înregistrat în locul celui de al doilea rând.
b) primul rând înmulțit cu (-1) și pus pe al treilea rând, rezultatul este înregistrat în locul celui de al treilea rând.
3. a) A treia linie prevăzută de a doua linie, rezultatul înregistrat în locul celui de al doilea rând.
b) înmulțit cu linia a treia (3) și prevăzut cu prima linie, rezultatul este înregistrat în locul primului rând.
4. interschimbate prima și a doua coloane.
Sarcini pentru decizia independentă
1. Găsiți produsul Matrici AB și BA dacă o matrice dată A și B.
2. Găsiți suma matricelor A și B în cazul în care:
3. Compania produce trei tipuri de produse P1, P2, P3 folosind două tipuri de materii prime S1. S2. Ratele brute de consum de material dintr-o matrice dată A de dimensiune. În cazul în care coloanele caracterizează tipurile de produse și linia de materii prime. Foaia de parcurs Produs dat coloană a matricei cu dimensiunea. Costul fiecărei mărfurilor calculate pe unitate de materie primă rând de dimensiunea matricei P. Găsiți punerea în aplicare a planului în cazul în care:
4. Pentru a calcula matricea matricei A = A 2. A; A 3 = A 2 A; B = E A + 2A-2 unde E este matricea identitate.
5. În orice relație între parametrii k și l este egalitate AB = BA în cazul în care: