Matematică Olimpiada Olimpiada și sarcinile

Sarcina 1: Se poate 5 x 5 pătrat tăiat în dreptunghiuri 1 × 2 () Domino.

Sarcina 2: Din tabla de șah 8 × 8 sculptate celule de colț opuse. Pot să taie restul în dreptunghiuri 1 × 2 (Domino)?

Soluție: Niciunul. Fiecare domino acoperă unul negru și unul de celule albe, iar pe bord, fără a unghiurilor de celule albe și negre ale unui număr diferit.

Sarcina 3: Din colțul opus al plăcii 10 x 10 taie două pătrate de 3 × 3. Este posibil să se taie în restul piese de domino?

Sarcina 4: Vino cu o piesă coerentă pe o tablă de șah, în care celulele la fel de alb-negru, dar care nu pot fi defalcate în piese de domino.

Sarcina 5: Este posibil să taie un pătrat de 10 x 10 25 bucăți?

Sarcina 6: Este posibil să taie un pătrat de 10 x 10 25 bucăți?

Soluție: Paint placa într-un model de tablă de șah. Celulele Negre va fi un număr par, iar în fiecare figură ei vor primi unul sau trei.

Ținta 7: Este posibil să taie un pătrat de 10 x 10 25 bucăți?

Paint placa în patru culori (vezi. Figura). Fiecare figură ocupă o celulă din fiecare culoare și celula primului și al doilea număr de culori diferite.

Ținta 8: Este posibil să taie un pătrat de 10 × 10 25 bucăți?

Soluție: Paint vertikalicherez unul.

9 Obiectiv: Pentru a dovedi că placa de 8 × 8 fără celule unghiulară nu pot fi tăiate în dreptunghiuri 3 × 1.

Ținta 10: Poate o placă de 8 × 8 tăiat într-un pătrat de 2 × 2 și 15 tipuri de figuri?

Ținta 11: Piața a) 5 × 5b) 8 × 8 împărțit în mai multe dreptunghiuri 3 × 1 și 1 × pătrat poate fi 1. În cazul în care pătrat 1 × 1?

Soluție: a) în centru, b) în a treia celulă pe diagonală din orice unghi.

Notă: vopsea bord, în trei culori.

Sarcina 12 Care este numărul maxim de bare 1 × 1 × 4 pot fi tăiate din partea de jos a 6 × 6 × 6?

Ținta 13: Dreptunghiul este împărțit în figurine. Unul dintre cei pierduți, dar înlocuit cu. Dovedește că un nou set de acoperire nu poate fi sursa dreptunghiului.

Ținta 14: Poate pătrat de 16 x 16 împărțit în 64 4 × 1 dreptunghi, dintre care 31 vor sta vertical, iar restul de 33 - orizontal?

Soluție: Paint fiecare al patrulea pe verticală.

Sarcina 15: Sub ce pătrat n × n n poate fi împărțit într-o);

Soluție: În cazul în care n, multipli de patru.

Ținta 16: dreptunghi m x k ​​este împărțită în dreptunghiuri de 1 x n. Demonstrati ca m este divizibil cu n sau k este divizibil cu n.

Paint n culori.

Sarcina 17: Pentru a dovedi că m × n dreptunghi poate fi împărțit în dreptunghiuri a x b, dacă și numai dacă sunt îndeplinite următoarele condiții:

1) m și n sunt reprezentate ca ka + lb (k și l - întregi non-negativ)

2) m și n este împărțit într-un.

3) m sau n este împărțită b.

Ținta 18: dreptunghi m × n numit robust, în cazul în care acesta poate fi împărțit în piese de domino, astfel încât fiecare secțiune dreptunghi se intersectează cu cel puțin un domino. Demonstrați că:

a) dreptunghi 2 x n - tremurător

b) dreptunghiular 3 x n - tremurător

c) dreptunghiul 4 × n - tremurător

d) dreptunghiurile 5 și 6 × 6 × 8 - solid

e) în cazul în care dreptunghiul m x n - durabil, și dreptunghi m × (n + 2) - durabil.

f) * dreptunghiul 6 x 6 - tremurător

g) Care sunt cutiile sunt puternice și care nu sunt?

Soluție: f) Indicație: fiecare linie în pătrat 6 × 6 se intersectează cu un număr par de domino.

g) Toate dreptunghiuri m × n, unde mn este chiar, m, n ≥ 5, cu excepția 6 × 6.

Zona numit tipul de figură.

a) Poate dreptunghiul 5 × 9, împărțită în colțuri?

b) Pentru a dovedi că dreptunghiului cu laturile 100 și zona mare divizibilă cu 3, pot fi împărțite în zone.

c) care dreptunghiuri pot fi împărțite în colțuri, și ceea ce - nu?

Pot bord, 2 n × 2 n fără celule de colț împărțite în colțuri?

Soluție: Da, puteți. Partiția este construit prin inducție.

Sarcina 21: În ce n scândură (+ 1 2n) x (2n + 1), fără a celulelor de colț pot fi împărțite în dominoes, inclusiv pe orizontală și pe verticală în mod egal?

Soluție: În cazul în care chiar n.