Local De Moivre

Materiale pentru lecție
Tabelul valorile funcției Gauss

Să considerăm o secvență de $ n $ experimente independente, fiecare dintre care $ Un eveniment $ poate avea loc cu o probabilitate de $ p $, sau nu apar - cu probabilitate $ q = 1-p $. Este notat cu P n (k) probabilitatea ca evenimentul $ A $ va fi exact ori $ k $ de la $ n $ posibil.

În acest caz, magnitudinea P n (k) poate fi găsit prin teorema lui Bernoulli (a se vedea clasa „Schema Exemple Bernoulli de rezolvare a problemelor ..“):

Această teoremă mare de lucrări, dar are un dezavantaj. Dacă $ n $ este suficient de mare, apoi găsi valoarea lui P n (k) devine imposibilă din cauza cantității enorme de calcul. În acest caz, teorema de funcționare locală de Moivre - Laplace. care ne permit să găsim o valoare aproximativă de probabilitate:

Teorema locală de Moivre - Laplace. În cazul în care numerele Bernoulli $ n $ este mare, iar numărul de $ p $ este diferit de 0 și 1, atunci:

Numeste functie (x) se numește o funcție Gauss. Valorile sale sunt calculate pentru o lungă perioadă de timp și sunt enumerate în tabel, care poate fi folosit chiar și pentru teste și examene.

Funcția Gauss are două proprietăți care ar trebui să fie luate în considerare atunci când se lucrează cu tabelul de valori:

φ (- x) = φ (x) - funcția Gauss - chiar este;
Pentru valori mari ale lui x, avem: φ (x) ≈ 0.

DeMoivre Teorema locală - Laplace aproximare oferă formula Bernoulli excelentă, în cazul în care numărul de încercări n este suficient de mare. Desigur, sintagma „numărul de încercări este suficient de mare“ este destul de relativă, iar diferite surse sunt numite numere diferite. De exemplu:

De multe ori se întâlnește cerința: n · p · q> 10. Poate că aceasta este limita minimă;
Alții oferă să lucreze la această formulă numai pentru $ n> 100 $ și n · p · q> 20.

În opinia noastră, pur și simplu, să se uite la starea problemei. În cazul în care este clar că teorema lui Bernoulli standardul nu funcționează din cauza cantității mari de calcul (de exemplu, nimeni nu va lua numărul 58 sau 45!), Simțiți-vă libertatea de a folosi teoria locală Moivre - Laplace.

Mai mult, mai aproape de valoarea de probabilitate $ q $ și $ p $ 0.5, formula de mai precisă. Și invers, atunci când valorile limită (în cazul în care $ p $ aproape de 0 sau 1) DeMoivre Teorema locală - Laplace oferă o eroare mare, acest lucru este semnificativ diferit de teorema lui Bernoulli.

Dar fii atent! Mulți tutori în matematici superioare sunt ei înșiși în astfel de calcule greșite. Faptul că funcția Gauss este substituit număr relativ complex care conține aritmetică rădăcina pătrată și fracțiunea. Acest număr trebuie să găsească înainte de schimbarea în funcția. Luați în considerare toate obiectivele specifice:

Sarcină. Probabilitatea nașterii unui băiat este 0.512. Găsiți probabilitatea ca printre 100 de copii vor fi exact 51 băiat.

Deci, toate testele testelor Bernoulli n = 100. În plus, p = 0,512, q = 1 - p = 0,488.

Deoarece n = 100 - este suficient de mare, vom lucra la DeMoivre teorema locală - Laplace. Rețineți că n · p · q = 100 · 0512 · 0488 ≈ 25> 20. Avem:

Așa cum am rotunjit valoare n · p · q la un număr întreg, răspunsul este, de asemenea, posibilă runda: 0,07972 ≈ 0,08. Să ia în considerare restul numerelor pur și simplu nu are sens.

Potrivit lui Bernoulli, n = 200, p = 0,02, q = 1 - p = 0,98. Rețineți că n = 200 - nu este numărul slab, deci vom folosi teoria locală Moivre - Laplace. Pentru a începe, vom găsi n · p · q = 200 · 0,02 · 0,98 ≈ 4. Desigur, 4 - este prea mic, astfel încât rezultatele vor fi inexacte. Cu toate acestea, avem:

Răspuns rotunjește la două zecimale: 0,17605 ≈ 0,18. Pentru a lua în considerare mai multe caractere încă nu are nici un sens, așa cum am rotunjit n · p · q = 3,92 ≈ 4 (la pătrat exactă).

Sarcină. Magazin de a obține 1000 de sticle de vodcă. Probabilitatea ca o sticla rupt în timpul transportului, este 0.003. Găsiți probabilitatea ca magazinul va primi exact două sticle sparte.

Potrivit lui Bernoulli avem: n = 1,000, p = 0,003, q = 0997. Prin urmare, n · p · q = 2991 ≈ 1,73 2 (luat cea mai apropiată piață perfectă). Deoarece numărul n = 1000 este suficient de mare, substitui toate numerele într-o formulă teoremă DeMoivre locală - Laplace:

Am intenționat să lăsați doar o zecimală (de fapt, nu va 0.1949.), Inițial folosit ca o estimare destul de dur. În special: 2991 ≈ 1,73 2. Trei numărătorul interiorul expresiei funcției Gauss are originea n · p = 1000 · 3 = 0,003.

Pregătirea gratuită pentru examenul de 7 lecții simple, dar foarte util + teme pentru acasă