Limitele iraționalului
Limitele care conțin iraționalitate (sau, pur și simplu, rădăcini) este extrem de popular printre redactorii modelelor de calcul și teste în matematică superioare. Trei grupuri de incertitudine sunt de obicei luate în considerare:
În acest subiect ne uităm la toate aceste trei grupuri, în limitele cu irațional. Să începem cu limitele care conțin nedeterminată formă $ \ frac $.
Dezvăluirea de incertitudine $ \ frac $.
soluții standard Schema de exemple de acest tip, de obicei, constă din două etape:
- A scăpa de iraționalitate, care a provocat incertitudine, înmulțirea așa-numitul „conjugat“ expresie;
- Dacă este necesar, se descompune în numărătorul sau numitorul (sau aici și acolo) factorizarea;
- Reducerea factorilor care duc la incertitudine, și se calculează valoarea dorită a limitei.
„Expresia conjugat“ Termenul, așa cum este folosit mai sus, vor fi detaliate în poyasnon exemple. Până în prezent, locui pe ea nu există nici un motiv în detaliu. În general, este posibil să se meargă un alt mod, fără utilizarea expresiei conjugat. Uneori, iraționalitate poate livra de schimb bine alese. Astfel de exemple sunt rare în lucrări de referință standard, înlocuind astfel utilizarea în considerare numai un singur exemplu №6 (cm. A doua porțiune a subiectului).
Vom avea nevoie de câteva formule pe care voi scrie mai jos:
În plus, presupunem că cititorul cunoaște formula pentru rezolvarea ecuațiilor pătratice. Dacă $ x_1 $ și $ x_2 $ - rădăcini ale unui pătratice trinomial $ ax ^ 2 + bx + c $, apoi extinde la factorizarea poate fi după cum urmează:
Formulele (1) - (5) va fi suficient pentru a rezolva problemele convenționale, la care ne mișcăm acum.
Deoarece $ \ lim _ (\ sqrt-2) = \ sqrt-2 = \ sqrt-2 = 0 $ și $ \ lim_ (x-3) = 3-3 = 0 $, limita dată, avem incertitudinea de forma $ \ frac $. Dezvăluie această incertitudine ne împiedică diferența de $ \ sqrt-2 $. Pentru a scapa de aceste iraționalități, utilizați multiplicarea pe așa-numita „expresie conjugat.“ Cum face acest lucru de multiplicare considerăm acum. Multiplicare $ \ sqrt-2 $ pe $ \ sqrt + $ 2:
Pentru a deschide parantezele aplică formula №1. înlocuind partea dreapta a formulei, $ a = \ sqrt $, $ b = $ 2:
După cum puteți vedea, dacă vă înmulțiți numărătorul de $ \ sqrt + 2 $, atunci rădăcina (de exemplu, irațional) în numărătorul va dispărea. Aici este o expresie a $ \ sqrt + 2 $ și va fi conjugat la expresia $ \ sqrt-2 $. Cu toate acestea, nu putem lua doar și multiplica numărătorul de $ \ sqrt + 2 $, deoarece va schimba fracția $ \ Frac-2> $ în picioare sub limita. Multiply nevoie odovremenno și numărătorul și numitorul:
Acum, amintiți-vă că $ (\ sqrt-2) (\ sqrt + 2) = 3-x $ și dezvăluie acolade. Și după extinderea și transformarea unui mic $ 3 x = - (x-3) va reduce fracția de $ X $ 3 $:
Incertitudinea $ \ frac $ a dispărut. Acum puteți obține cu ușurință un răspuns în acest exemplu:
Rețineți că expresia conjugat poate schimba structura sa - în funcție de ce fel de iraționalitate, ar trebui să fie eliminate. În exemplele №4 și №5 (cm. A doua parte a subiectului) va fi folosit ca un fel de exprimare a conjugatului.
$ \ Lim Deoarece _ (\ sqrt- \ sqrt) = \ sqrt- \ sqrt = 3-3 = 0 $ și $ \ lim_ (3x ^ 2-5x-2) = 3 \ cdot2 ^ 2-5 \ cdot 2- 2 = 0 $, atunci avem de a face cu incertitudinea de forma $ \ frac $. Scapă de iraționalitate în numitorul fracției. Pentru acest domozhim atât numărătorul și numitorul fracției $ \ fracturate \ sqrt> $ pe expresia $ \ sqrt + \ sqrt $, conjugat la numitor:
Din nou, ca în exemplul №1, trebuie să utilizați formula pentru dezvăluirea №1 paranteze. Substituind partea dreapta a formulei, $ a = \ sqrt $, $ b = \ sqrt $, obținem o expresie pentru numitorul:
Înapoi la limita noastră:
Exemplul №1 aproape imediat după înmulțirea prin expresia conjugată a fost redusă fracțiuni. Aici, pre-tăiate va trebui să factor expresii $ 3x ^ 2-5x-2 $ și $ x ^ 2-4 $, și apoi pentru a merge la contracte. Pentru a factor expresia 3x $ ^ 2-5x-2 $ trebuie să utilizați formula №5. Pentru a începe rezolva o ecuație pătratică $ 3x ^ 2-5x-2 = 0 $:
Substituind $ x_1 = - \ $ Frac, $ x_2 = 2 $ în formula №5. avem:
$$ 3x ^ 2-5x-2 = 3 \ cdot \ stânga (x- \ stânga (- \ frac \ dreapta) \ dreapta) (x-2) = 3 \ cdot \ stânga (x + \ frac \ dreapta) (x -2) = \ stânga (3 \ cdot x + 3 \ cdot \ frac \ dreapta) (x-2) = (3x + 1) (x-2). $$
Acum a fost rândul la factorul expresia $ x ^ $ 2-4. Noi folosim formula №1. înlocuind în $ i o = x $, $ b = $ 2:
Noi folosim aceste rezultate. Deoarece $ x ^ 2-4 = (x-2) (x + 2) $ și $ 3x ^ 2-5x-2 = (3x + 1) (x-2) $, atunci:
Împărțind de x-bretele $ 2 $ obținem:
Totul! Incertitudinea a dispărut. Încă un pas, și am ajuns la răspunsul:
În exemplul următor, considerăm cazul în care iraționalul ar fi prezentă atât numărătorul și numitorul fracției.
Deoarece $ \ lim _ (\ sqrt- \ sqrt) = \ sqrt- \ sqrt = 0 $ și $ \ lim _ (\ sqrt- \ sqrt) = \ sqrt- \ sqrt = 0 $, atunci avem o greu de definit $ \ frac $. Deoarece, în acest caz, rădăcinile sunt prezente și în numitorul și numărătorul, apoi, în scopul de a scăpa de incertitudinea au multiplica doar cele două paranteze. În primul rând, cu privire la expresia $ \ sqrt + \ sqrt $, conjugarea numărătorul. Și în al doilea rând pe expresia $ \ sqrt- \ sqrt $, conjugat numitor.
Consolele folosind formula №1. obținem:
Revenind la limita, avem:
Rămâne la factorul expresii $ -X ^ 2 + x 20 + $ si $ x ^ 2-8x + 15 $. Să începem cu expresia $ -x ^ 2 + x + $; 20. Pentru aceasta se desfășoară pe factorii necesari pentru a rezolva ecuația $ -x ^ 2 + x + 20 = 0 $, iar apoi utilizați formula №5:
Pentru expresia $ x ^ 2-8x + $ 15, obținem:
Substituind aceste razozheniya $ -x ^ 2 + x + 20 = - (x-5) (x + 4) si $ x ^ 2 + 8x + 15 = (x-3) $ (x-5), în limita de raportare, avem:
În următoarea parte (a doua), ia în considerare câteva exemple în care exprimarea conjugat va avea un aspect diferit față de sarcinile anterioare. Principalul lucru, amintiți-vă că scopul utilizării conjugatului de exprimare - pentru a scăpa de iraționalitate, cauzând incertitudine.