Lagrange de interpolare polinomiale - studopediya

Să presupunem că aveți un tabel cu două coloane. . . Necesar pentru a găsi polinom de gradul cel mai de jos, care ia valorile pentru fiecare argument. . adică coincide cu valorile funcției de tabelă la nodurile. Apropierea, presupunem că, pentru orice valoare a argumentului t. . O astfel de egalitate aproximativă se numește formula interpolare. Deci, este necesar să se găsească o formulă de interpolare, și apoi să evalueze exactitatea lor.

Găsim în primul rând polinomială (polinomul), care ia valoarea 1 în nodul audio și 0 în toate celelalte. Funcția Evident simplu

în cazul în care prim pe semnul produsului este. Este polinomul necesar de gradul n-1.

Rețineți că după n puncte pot fi realizate în mod unic polinom de gradul n-1, de exemplu, 2 puncte poate fi trasa în mod unic o linie dreaptă (curba 1 ordine) prin 3 puncte - parabole (o curbă de ordinul 2), etc. .

Este ușor de a verifica dacă este egal cu 1 în cazul în care; 0 și când. Multiply pe. primește valoarea polinomului care rezultă în nodul j-și zero pentru toate celelalte noduri. Prin urmare, suma acestor polinoame vor lua valorile pentru argumentul:

Notă: j - numărul de serie al polinomului intermediar în suma, care este construirea unui polinom de Lagrange; i - numărul de orice nod în tabel.

Aceasta este polinomul necesară de gradul n-1, n care se extinde prin tabelul de nod. . .

Accentuat: dacă punct dat nodul n, polinomul corespunzător de gradul n-1, care trece prin aceste puncte în mod unic (ținând cont de eroarea de rotunjire) este determinată, indiferent de metoda de construcție și de notare. În cazul în diferite puncte nodale, desigur, polinoame pot fi diferite, dar aceleași puncte nodale ar trebui să conducă la aceleași polinoame (ținând cont de eroarea de rotunjire).

Solicitarea că polinomul ia valoarea pentru fiecare argument. am construit un polinom Lagrange. Dacă avem nevoie ca polinomul primit nu numai valorile din nodurile de funcții de masă, dar, de asemenea, primul derivat al polinomul este egală cu prima derivată a funcției de masă la nodurile, construim polinomul Hermite.

Exemplu. este un tabel

Această interpolare polinomială de ordinul 2 - parabole.

Pentru t = 2, L = 7,33.

Această figură prezintă un grafic al polinomului Lagrange construit din cele 5 noduri - un polinom de ordinul 4.

Această figură prezintă un grafic al polinomului Lagrange construit din nodurile 8 minute - un polinom de ordinul a 7-a.

Din cifrele este clar că valorile funcției de masă între nodurile Lagrange polinom reprezentat nesatisfăcătoare. În plus, polinomul Lagrange este incomod pentru utilizarea practică. În practică, cunoscută în mod obișnuit precizia necesară a rezultatului, și o multitudine de noduri sunt folosite pentru a alege.