integritatea inelului - studopediya

Inelul clasei de reziduuri

Cele mai importante tipuri de inele

Să - grupul aditiv de întregi, și - un subgrup de întregi divizibile cu fără urmă.

Anterior, am arătat că descompunerea unui subgrup determină coeficientul

ale cărui elemente sunt clasele de reziduuri modulo

și anume stânga ale claselor grupului de aditivi de întregi modulo subgrupul

Pe platoul de filmare - clase de reziduuri modulo operațiile de adunare și înmulțire

Deoarece aceste operațiuni se reduce la operațiunile corespunzătoare pe un număr de clase de reziduuri, adică asupra elementelor m,

va exista un inel comutativ cu unitate.

Definiția. Inelul este numit un inel de reziduu claselor modulo m.

Introducerea notația pentru m fix, operații de adunare și înmulțire pot fi scrise în formă prescurtată:

La înregistrarea operațiilor de adunare și înmulțire asupra clasei resturilor modulo pot abandona dungile și puncte și funcționează cu orice set fix de reprezentanți ai claselor de reziduuri modulo m.

Cel mai adesea, ca atât de mulți reprezentanți ai actelor stabilite - numitul sistem redus de reziduuri modulo m.

Să presupunem, atunci tabelul Cayley pentru operațiile de adunare și înmulțire în ring sunt de forma:

Clasa de reziduuri inel modulo algebra joacă un rol important și servește ca punct de plecare pentru numeroase generalizări.

Să - să fie un inel arbitrar cu identitate.

Așa cum sa arătat anterior, pentru orice egalitati:

Aceasta implică faptul că zero, - 0 și unitatea - diferitele elemente sunt elemente ale inelului.

Dacă un element din inelul are un element invers, este singura pentru care condiția

Element singur inel este inversa in sine:

Rezultă că elementul este, de asemenea, inversul în sine.

Elementul 0 al inelului zero, nu are nici un element invers, ca

, pentru orice element.

Definiția. Element pentru care există un inel, și, mai mult decât atât, doar un singur element invers sau subgrupă numita unitate reversibilă.

numere întregi Ring este cel mai simplu exemplu de un inel comutativ în care doar 1 și -1 sunt unitatea de divizori.

Teorema. Setul tuturor unității divizori inel este un grup de multiplicare.

Dovada. Într-adevăr, în cazul în care, adică, sunt divizori de unități ale inelului, atunci

Acest lucru înseamnă că, de asemenea, unitatea de compas și, prin urmare, conținute în setul. Prin urmare, setul este un grup de multiplicare.

Definiția. Grupul numit un grup de inel separatoare de celule unitate.

Deoarece pentru orice element al egalității

apoi prin elemente divizori inel de definiție, fiecare element este un divizor de zero.

În teoria inelelor pentru elementele arbitrare folosesc următoarea definiție zero divizori.

Definiția. Elementele sunt numite de zero divizori dacă și; în acest caz, numit stânga și - dreapta la zero împărțitor.

Exemplu. 1. Clasele de reziduuri inel mod m exista la zero divizori:

clase de reziduuri inel Mod 6:

clase de reziduuri inel Mod 4:

2. matricelor pătrate inel de ordinul zero divizori exista de asemenea:

Definiția. Inelul (e) de integritate este un inel comutativ fără zero, divizori.

Exemplu. 1. - inelul este un inel de integritate numere întregi.

2. Integritatea inel este inel, dacă și numai dacă - un număr prim.

Luați în considerare un inel arbitrar.

În cazul în care, și că este inel nu conține zero, divizori, atunci un astfel de inel este numit corpul.

Definiția. K. inel, în care toate elementele nenule exista invers, numit corpul.

Organismul nu conține zero, divizori, și anume, dacă - corpul, apoi în cazul în care.

Aceasta înseamnă că elementele nenule ale corpului formează un semigrup în ceea ce privește multiplicarea.

Mai mult decât atât, din moment ce corpul cuprinde un singur element și pentru fiecare element nenul în corpul unui element invers al elementelor corpului sunt formă nenul grupul de multiplicare.

Exemple. 1. Corpul numerelor raționale. Într-adevăr, în cazul în care

Este important ca elementul invers.

Pentru orice număr întreg, de exemplu, un element invers există și este egal, dar nu face parte.

2. Corpul numerelor reale.

3. Corpul numerelor complexe.

Sonerie integritatea cu care ne întâlnim cel mai frecvent este inelul de numere întregi.

Teoria inelelor rolul special jucat de inel, ale cărui proprietăți sunt destul de aproape de inelul de numere întregi.