Integrarea Comunicarea cu diferențierea

Luați în considerare integrala definită a cărei limită inferioară este constantă și superioară a schimbat.

Acordarea de limita superioară a diferitelor valori, vom obține valori diferite ale integralei; în consecință, în aceste condiții integralei unei funcții de limita superioară

,

aici

- variabilă de integrare, schimbarea în intervalul .

Teorema 1.Proizvodnaya integralei limita superioară este egală cu integrandul

.

Luați în considerare o valoare a primit nenegativ continuă în intervalul

funcție. Fix un punctși lăsațiZona trapez curbiliniu cu o bază,(Fig. 9), atunci

.

Dacă variabila

este incrementat, modificări(A se vedea. Fig. 9). Geometric clar că

,

unde

și- respectiv, valorile minime și maxime ale funcțieiîn intermediară . La urma urmei,- aria unui dreptunghi situată în întregime într-o formă, o zonă desemnată, și- zona unui dreptunghi care conține forma. Noi împărțim toate inegalitatea de increment, atunci.

deoarece

funcție continuă în intervalul, este nevoie în acest interval de cel puțin o dată orice valoare situată între cele mai mici și cele mai mari valorile sale, inclusiv valoarea. Vom nota cu punctul în care , .

Să considerăm limita acestei expresii cu condiția ca

. Apoi, punctul, și valoareala valoarea funcției. Conform proprietăților vor avea limite:

, .

NOTĂ: Această teoremă arată că integrarea și diferențiere - operațiile inverse.

Nedeterminată integrală

OPREDELENIE.FunktsiyuF (x), care este derivata funcției integrantul se numește primitivă.

Cum de a găsi derivat a fost una dintre principalele sarcini ale calculului diferențial, astfel încât găsirea unui primitiv este unul dintre principalele obiective ale calcul integral.

De exemplu, ia în considerare funcția

. Știm că. funcțiefuncţia primitivă.

Dacă găsiți derivatele funcțiilor

,,, unde- o valoare constantă arbitrară, ei sunt toți egali. În consecință, oricare dintre funcțiileEste o funcție primitivă.

Teorema 2. Orice funcție continuă are un număr infinit de primitive, și oricare două dintre ele diferă unul de altul numai printr-un termen constant.

Să presupunem că funcția

Ea are o funcție primitivă. Apoi, funcțiala fiecare constantăAcesta va fi, de asemenea primitiv de atunci. Astfel, funcțiaAcesta are un număr infinit de primitive.

funcţia Să

și- primitivele pentru o funcție, și anumeși. Apoi. Dar. Prin urmare,.

OPREDELENIE.Sovokupnost toate primitivele pentru integrandul se numește integrala nedefinită.

Integrala nedefinită este, de asemenea, menționată ca fiind specifică, numai fără frontiere, și anume dacă

,

.

și

cu această formulă, egalitatea

,

,

.

Funcția primitivă Program

Funcția curba nazyvaetsyaintegralnoy .

Din definiția integralei nedefinită ca o pluralitate de primitivelor

că familia de curbe integrale pot fi obținute prin translație paralelă a linieivaloareaîn direcția axei Y (Fig. 10).

Tabelul 1 prezintă derivații și primitivele de bază pentru funcțiile elementare.