Integrale curbilinii - rezolvarea problemelor, de control

Curve AB, definită prin ecuațiile parametrice numite netede, dacă funcțiile și au instrumentele derivate continue pe intervalul și în care Dacă punctele de capăt ale segmentului incluzând acești derivați există sau nu dispar simultan, curba I numesc netede pe porțiuni. Să AB - curba plană, netedă sau Ku-suculent-neted. Fie f (M) - funcția pe curba AB sau într-o regiune D, care cuprinde curba. Luați în considerare împărțirea curbei A în parte la punctele (Fig. 1). Alegem fiecăruia dintre arce A ^ La + i punct arbitrar Mk și formează suma unde Alt - lungimea arcului și numesc suma integrală a funcției f (M) la lungimea arcului curbei. Fie L / - cea mai mare izdlin arce parțiale, adică, proprietățile integralelor curbilinii de primul tip de curbe spațiale integralele curbilinii ale conexiunii integrale doilea tip linie de calcul între proprietățile lanurile de porumb definiție ... În cazul în care valoarea cumulată a (I) are o limită finită, care este independentă de orice metodă de partiționare porțiune AB a curbei, sau prin selectarea punctelor pe fiecare dintre marginile peretelui despărțitor, această limită se numește linie integrală \ genul -lea al funcției f (M) curba AB (integralei lungimea arcului curbei) și este notat în acest caz, funcția / (M), de-a lungul unei curbe numite integrabila AVU curba a este numit în circuitul de integrare, a - B primar, - se încheie un punct de integrare. Astfel, prin definiție, Exemplul 1. Fie a lungul unei curbe L netedă este alocată variabilei densitatea masei liniare a J (M). Găsiți masa m a curbei L. (2) divide curba L în unități arbitrare n) și se calculează greutatea aproximativă, dar fiecare parte, presupunând că densitatea fiecărei părți este densitatea constantă și egală în oricare dintre punctele sale, de exemplu, în extremă punctul stânga / (Af *). Apoi, suma ksho in care D / d - lungimea Az de a doua parte, este o valoare aproximativă de masa m este clar că eroarea va fi mai mică, cu atât mai fină curba de descompunere L. In limita N -. 0 * (D / = L max / ») masa exactă obține toate L, adică curba Dar limita pe dreapta este linia integralei primul fel. Deci, 1.1. Existența unei integrale linie de primul tip Presupunem curba AB parametrul pentru lungimea arcului I, măsurat de la punctul de start A (figura 2). Apoi, curba AB poate fi descrisă de ecuațiile (3), unde L - lungimea curbei AB. Ecuațiile (3) ecuațiile se numesc curba naturala AB. În tranziția la ecuațiile naturale funcția f (x> y) este definit pe curba AB va fi redusă la funcția variabilă I: / (x (1)> y (1)). Notând valoarea parametrului I, corespunzător punctului ISU rescrie suma integrală (I) în forma aceasta - sumă integrală corespunzătoare definit integral Deoarece integrala a sumei (1) și (4) sunt mezhdusoboy apoi egale cu integralele corespunzătoare acestora. Astfel, (5) Teorema 1. Dacă / (M), de-a lungul unei curbe netede continuă AB, atunci există o linie integrală (deoarece există o integrală definit în ecuația (5), chiar în aceste condiții). 1.2. Proprietățile Integrale curbilinii de primul tip 1. Forma sumei integrale (1), că este valoarea integralei liniei de primul tip este direcția og independentă de integrare. 2. liniaritatea. Dacă pentru fiecare funcție / () există o linie integrală de-a lungul curbei Abt pentru funcția și /, unde a și / 3 - orice permanent, există, de asemenea, o linie integrală de-a lungul curbei AB> 3. în care aditivitate. Dacă curba AB este format din două piese și funcția / (M) este integralei linia de AVU atunci integralele 0 și 4. Dacă pe curba AB, apoi 5. Dacă funcția este integrabilă pe curba AB, funcția || De asemenea, este integrabilă pe AB, și în același timp b. Formula medie. Dacă funcția / este continuă de-a lungul curbei AB, atunci această curbă există un punct Ms, astfel încât în ​​cazul în care L - lungimea curbei AB. 1.3. Calculul integralei liniei de primul tip Să curba AB este dată de ecuațiile parametrice și punctul A corespunde valorii t = a, și punctul B - valoare. Presupunem că funcțiile) sunt continue pe împreună cu derivații săi și inegalitatea apoi arcul curba diferențialului calculat prin formula în particular, dacă curba AB este dată o ecuație explicită derivabila [a, b] și un punct A corespunde valorii x = a, un punct În - valoarea lui x = 6, apoi luând x ca parametru, obținem 1.4. Integrale curbilinii de primul tip de curbe spațiale pentru determinarea integralei liniei de primul tip menționat mai sus pentru o curbă plată textual pentru cazul în care funcția f (M) este definit de-a lungul unei curbe spațiale AB. Fie curba AB este dată de ecuațiile parametrice Proprietăți ale integralelor linie de primul tip de curbe spațiale integralelor curbilinii ale două linii tip Computation proprietăți de comunicare integrale între Apoi linia integrală luată de-a lungul curbei poate fi redusă la o integrală certă cu ajutor următoarei formule: Exemplul 2 Vychislitkrivolineyny integral unde L - triunghi contur cu vârfuri la punctul * (figura 3). Prin aditiv de proprietate trebuie să calculeze fiecare dintre integralele separat. Deoarece segmentul au OA. În segmentul Academiei de Științe au. și apoi din Fig. În cele din urmă, prin urmare, pentru a comenta. La calcularea integralele, am folosit proprietatea 1, potrivit căruia. Integrale curbilinii de tipul celor două Fie A B - netede sau curbe orientate pe porțiuni netede în planul xy și lăsați - funcția vector definit într-un domeniu D, conține curba AB. Se împarte curba AB în punctele parțiale ale căror coordonate sunt notate cu (Fig. 4). Pe fiecare dintre elementarnyhdug Akaka + \ luăm un punct arbitrar și formează suma Fie L / - lungimea maximă a arcelor Definition. În cazul în care suma (1) are o limită finită, nu depinde nici de metoda de partiționare a curbei AB, nici alegerea punctelor RJK) pe arce elementare, această limită se numește linia integral 2-oraș din funcția de prim rang-vector al curbei AB și este notat cu Deci prin definiție Teorema 2. Dacă într-un interval oarecare D, curba AB cuprinzând, funcție continuă, atunci linia integral 2-oraș există. Să - vectorul raza unui punct M (x, y). Apoi integrantul în ecuația (2) poate fi reprezentat ca un produs scalar al vectorilor F (M) și dr. Așa că integralei doilea tip de funcții vectoriale de pe curba AB poate fi scris pe scurt, după cum urmează: 2.1. Calculul integralei linie al doilea tip Să curba AB este definită prin ecuațiile parametrice, în care funcțiile sunt continuu împreună cu derivații acesteia pe segmentul. și variația parametrului t de la t0 la t \ corespunde mișcării unui punct de pe curba AB de la punctul A la punctul B. Dacă într-un domeniu D, care conține curba AB, funcțiile sunt continue, integrala de linie a 2a tip este integral următorul bine definit: astfel, calcularea liniei integrală a două fel poate fi, de asemenea, redus la calcularea integrala definită. O) Exemplul 1. Se calculează integralei de-a lungul unui segment rectiliniu care leagă două puncte) de-a lungul parabolei. care leagă aceeași ecuație parametru subțire) linie, în cazul în care Deci, 2) Ecuația liniei AB: Prin urmare, a considerat exemplu că valoarea unge integralei linia a 2-un fel, în general vorbind, zavisitot forma calea integrării. 2.2. Proprietățile curbilinii integrale și două tip 1. Liniaritatea. Dacă există proprietăți ale integralelor curbilinii de primul tip de curbe spațiale integralelor curbilinii ale conexiunii integrale doilea tip linie de calcul între proprietățile pentru orice reală bine și / 5 există și integral cu 2. Additenost. În cazul în care curba AB este împărțit în părți ale Consiliului de Securitate al UA și și integralei linia există, atunci există integralele ultima proprietate soitvggggnusg interpretarea fizică a integralei linia a 2a tip Kah câmp de forță de muncă F de-a lungul unei căi: când deshkeniya direcția curbei de muncă câmp de forță de-a lungul curbei modificări semneze. 2.3. Comunicarea între integralele curbilinii din 1 și 2 natură Să considerăm integralei linia a 2-un fel în care curba orientată AB (A - punctul de plecare B - punct final) ecuația vekgornym definită (aici I - lungimea curbei măsurată în direcția în în care curba AB) (Fig. 6) este orientat. Apoi, sau dr unde r = r (1) - o tangentă vector unitate la curba AB la punctul M (1). Apoi, rețineți că ultima integrală în această formulă - integralei linia de primul tip. La schimbarea orientarea curbei AB vectorul unitate tangentă g este înlocuit cu vectorul opus (z), care determină o schimbare în semn de integrantul și deci semnul integralei.