integral triplu dreptunghiular - studopediya

1) pentru a construi corpul;

2) pentru a înregistra integral triplu prin repetarea integral; pentru a re-aranja primele limite interne integrale ale integrării, și anume schimba limite. Astfel variabila de integrare este schimbat de la suprafața inferioară până la suprafața superioară;

3) se calculează interior integrală cu fix;

4) calculează aspectul integral al corpului pe planul de proiecție.

Cazul 2: Lăsați suprafețele corpului este limitată, iar suprafața cilindrică cu generatoarele paralele cu axa. atunci

Cazul 3. Lăsați suprafața corpului este limitată, iar suprafața cilindrică cu generatoarele paralele cu axa. atunci

Pentru a calcula integralele triple ar trebui să fie în măsură să construiască o suprafață cu ecuații predeterminate. Noi oferim următoarele recomandări.

1. Dacă ecuația nu conține suprafața unei singure variabile, de exemplu, ecuația nu conține, atunci când suprafața este cilindrică cu generatoarele paralele cu axa. În primul rând, vom construi un ghid cu o ecuație predeterminată și apoi prin punctele sale de a efectua generatoarele paralele cu axa.

2. Dacă suprafața ecuației conține variabile, este convenabil de a construi suprafața secțiunii de plane sau plane paralele cu acestea.

Exemplul 1: Găsiți volumul corpului delimitat de suprafețe ,.

Decizie. Construi corpul de încadrare de suprafață. În ecuația de aceea offline această ecuație definește o suprafață cilindrică având generatoarele paralele cu axa. Avionul de ghidare are o ecuație (sau), care definește partea stângă a unei parabole. Construirea de ghidare și formare care trece prin punctul său (fig. 2), obținem o suprafață cilindrică. Ecuația definește un plan.

Următoarea ecuație este o ecuație de gradul I, atunci acesta definește planul. În ecuația offline, apoi planul paralel cu axa. În plus, atunci când avem, atunci când avem. Prin aceste două puncte și conduce un plan paralel cu axa. Acest plan intersectează planul segmentului și o suprafață cilindrică - într-un arc (figura 2.).

In mod similar, ecuația definește un plan paralel cu axa care intersectează planul segmentului și o suprafață cilindrică - într-un arc.

Volumul corpului delimitat de suprafețele luate în considerare, găsiți una dintre formulele (6.6):

Scriem triplu integrală în ceea ce privește re-folosind formula. Pentru a aranja limitele interne de integrare, și anume schimba limite, se va deplasa paralel cu axa. Acest lucru se schimbă de la plan la plan. prin urmare

Există o proiecție a corpului pe planul, și anume, triunghi curbilinie. Acum calculăm dubla integrala. Pentru a face acest lucru, se scrie prin repetate corp comun cu integrarea internă peste. Pentru a clarifica limitele schimbării se va muta în paralel cu axa. În același timp modificările de arc înainte de interval. prin urmare

Calculând primul interior integrală cu fixă ​​și apoi integralei exterior, obținem

Exemplul 2. Găsiți centrul de greutate al corpului, suprafețe limitate.

Decizie. Construi corpul de încadrare de suprafață. O primă suprafață cu ecuația construct de secțiuni. Avionul secțională obține o axă de simetrie parabole - axa (figura 2.). Secțiune de recepție de-a lungul circumferinței. Pentru aceste secțiuni transversale se poate observa că ecuația definește un paraboloid. A doua suprafață - plan - secționează partea paraboloid prezentată în Fig. 2.

Centrul de greutate rezultat corp omogen, datorită axei sale de simetrie se află (în punctul). În consecință ,. Coordonatele centrului de greutate găsit de integralele triple cu formulele:

Deoarece corpul este uniformă, densitatea sa este constantă și poate fi luată în afara semnului integrală. prin urmare

Calculăm mai întâi integrala din numărătorul; pentru aceasta scrie sub forma repetată integral cu integrarea internă peste. Pentru a clarifica limitele modificărilor se vor deplasa paralel cu axa. Acest lucru se schimba pe paraboloidului de la suprafață la planul. prin urmare

În primul rând, vom calcula interior integrala

Deoarece proiecția corpului pe un plan este un cerc, atunci are o integrală dublă este convenabil calculată într-un sistem de coordonate polare, înlocuindu-l și pe. Atunci vom obține

Dubla integrala, vom scrie prin repetate cu integrarea internă peste.

Deoarece planul de secțiune transversală a paraboloidului este raza cercului, modificările de la; sa schimbat de la la și, prin urmare,

În mod similar, integrala se calculează:

Astfel, centrul de greutate al corpului este la punctul.