înlocuind metoda variabilei în indefinită integrală
În această lecție ne vom uita la unul dintre cele mai importante și cele mai comune metode care sunt utilizate în cursul rezolvării integralelor nedefinite - prin înlocuirea variabilă. Pentru a stăpâni cu succes materiale necesare cunoștințele și abilitățile de integrare de bază. Dacă există un sentiment ceainic plin gol în calcul integral, trebuie mai întâi să vă familiarizați cu materialul integrală nedefinită. Exemple de soluții. unde am explicat în termeni simpli, ceea ce este integral și analizate în detaliu exemplele de bază pentru începători.
Punct de vedere tehnic, metoda de înlocuire a variabilei în integralei nedeterminată se realizează în două moduri:
- Rezumând funcționează sub semnul diferenței;
- De fapt substituție variabilă.
De fapt, ele sunt unul și același lucru, dar soluția de design arată diferit.
Să începem cu un caz simplu.
Rezumând funcționează sub semnul diferenței
Pe lecție integrală nedefinită. Exemple de soluții am învățat să dezvăluie amintesc diferențiale exemplul I citat:
Aceasta este, pentru a dezvălui diferențial - este tehnic aproape la fel ca și derivatul.
Găsiți nedefinită integrala. Verificați acum.
Ne uităm la masa integralelor și de a găsi o formulă similară. Dar problema este că noi nu doar sub formă de sinusul ca literele „X“ și expresia complexă. Ce să fac?
Funcția sub semnul diferential Rezumând:
Extinderea diferențial, este ușor de a verifica dacă:
De fapt - este un record de aceeași.
Dar, cu toate acestea, întrebarea rămâne, cum am ajuns la concluzia că este necesar să se scrie nostru integrantă exact primul pas? De ce este așa și nu altfel?
Formula (și toate celelalte formula tabular) sunt valabile și aplicabile nu numai pentru variabila, ci pentru orice expresie complexă, atâta timp cât argumentele funcției (- în exemplul nostru) și expresia sub DIFERENȚIALĂ erau identice.
Prin urmare, raționamentul mentală în rezolvarea ar trebui să dezvolte ceva de genul: „Am nevoie pentru a rezolva integralei. M-am uitat la masă și a găsit o formulă similară. Dar am un argument complicat, iar formula nu am putut să profite. Cu toate acestea, dacă aș putea obține și un semn diferențial, atunci totul va fi bine. Dacă aș scrie în jos, atunci. Dar, în factorul integrant original sau trei acolo, astfel încât integrandul nu sa schimbat, l-am înmulțit cu“. In timpul record de aproximativ raționamentul mintal se naște:
Acum puteți utiliza tabelul cu formula:
Singura diferență este, nu avem litera „X“, și expresia complexă.
Efectuați verificările. Deschideți tabelul de derivați și a răspunsului derivabile:
Ia integrandul sursa, apoi integralei găsit în mod corect.
Vă rugăm să rețineți că, în timpul testului, am folosit regula pentru diferențierea unei funcții compozit. însumarea În esență funcționează sub semnul și diferențial - două regula reciproc inverse.
Găsiți nedefinită integrala. Verificați acum.
Noi analizăm integrandul. Aici avem o șansă, iar numitorul unei funcții liniare (cu „Iksom“, în primul grad). Ne referim la tabelul integralelor și pentru a găsi cel mai asemănător.
Funcția sub semnul diferential Rezumând:
Cei care consideră că este dificil să ne dăm seama imediat pe ceea ce ai nevoie pentru a se multiplica fracțiunea, poate dezvălui rapid diferențial pe proiectul :. Da, se pare, înseamnă că nimic nu sa schimbat, am nevoie pentru a se multiplica integrala.
În continuare, vom folosi o formulă de tabel:
Verificați:
Ia integrandul sursa, apoi integralei găsit în mod corect.
Găsiți nedefinită integrala. Verificați acum.
Acesta este un exemplu pentru soluțiile independente. Răspunsul este la sfârșitul lecției.
Găsiți nedefinită integrala. Verificați acum.
Acesta este un exemplu pentru soluțiile independente. Răspunsul este la sfârșitul lecției.
La o anumită experiență de rezolvare a integralelor, astfel de exemple vor părea ușor, și faceți clic ca fructe cu coajă:
La sfârșitul acestei secțiuni, aș dori să mă opresc asupra „khalyavnykh“ atunci când partea variabilă cu un singur factor, cum ar fi o funcție lineară:
Strict vorbind, soluția ar trebui să arate astfel:
După cum puteți vedea, însumarea funcție sub semnul diferenței de mers „lin“, fără nici un fel de multiplicare. Prin urmare, în practică, o astfel de decizie lung este adesea neglijat, și scrie imediat că. Dar, să fie pregătit să explice profesorul, dacă este necesar, cum decideți! Deoarece integrala din tabelul de la toate, nr.
înlocuind metoda variabilei în indefinită integrală
Ne întoarcem la cazul general - metoda de schimbare a variabilelor în nedefinită integrală.
Găsiți nedefinită integrala.
Ca un exemplu, am luat integral, pe care am discutat la începutul lecției. Așa cum am spus, pentru soluția integralei ne-a plăcut formula tabelară, iar lucrul aș dori să aduc la ea.
Ideea înlocuirii metodei constă în faptul că o expresie complexă (sau o funcție) pentru a înlocui o singură literă.
În acest caz, sugerează:
A doua literă este de a înlocui popularitate - este litera.
În principiu, puteți utiliza alte caractere, dar noi încă se va lipi de tradiții.
Deci:
Dar încă mai avem înlocuitorul! Probabil, mulți ghicit că, dacă o tranziție la o nouă variabilă, noul totul integrală trebuie să fie exprimate printr-o scrisoare, și diferențial nu este un loc.
Este o concluzie logică, ar trebui să fie transformat într-o expresie care depinde numai de.
Procedați după cum urmează. După ce ne-am luat un înlocuitor, în acest exemplu, trebuie să găsim diferențial. Pe diferențele cred că prietenia a fost stabilită la toate.
După o confruntare cu diferențial rezultatelor finale, noi recomandăm să fie rescrisă cât mai scurt posibil:
Acum, în conformitate cu regulile pe care doriți să-și exprime proporții:
Ca rezultat:
Astfel:
Și acest lucru este cel mai este că nici pe masă, integrală (tabelul integralelor. Desigur, de asemenea, valabil pentru variabila).
În concluzie, rămâne să efectueze înlocuirea inversă. Îmi amintesc asta.
Finish proiectarea acestui exemplu, ar trebui să arate ceva de genul asta:
Icoana poartă nici un sens matematic, aceasta înseamnă că am întrerupt o soluție pentru explicațiile intermediare.
De asemenea, foarte recomanda sa folositi un semn matematic în loc de expresia „acest lucru ar trebui să fie.“ Și scurt și convenabil.
Atunci când face un exemplu într-un notebook marcat de înlocuire inversă exponenți se face cel mai bine în creion.
Atenție! În următoarele exemple, găsirea semnul diferențialul nu va descrie în detaliu.
Și acum este momentul să-și amintească primul mod de a rezolva:
Care este diferența? Nici o diferență în principiu. Aceasta este de fapt același lucru. Dar, în ceea ce privește metoda de atribuire a funcției de proiectare pentru însumarea mărcii diferentiala - mult mai scurt.
Se pune întrebarea. În cazul în care prima metodă este mai scurtă, atunci de ce utilizați metoda de înlocuire? Faptul este că, pentru un număr de integralelor nu este atât de ușor să „se potrivesc“ funcție sub semnul diferenței.
Găsiți nedefinită integrala.
Asigurați schimbarea: (o altă înlocuire este dificil de a veni cu)
După cum puteți vedea, prin înlocuirea integralei original este mult mai simplu - svolsya la funcția de putere convențională. Acesta este scopul înlocuirii - pentru a simplifica integralei.
oameni avansate Lazy rezolva cu ușurință această integrantă prin insumarea funcția sub semnul diferenței:
Un alt lucru este că o astfel de soluție nu este în mod evident pentru toți studenții. În plus, chiar și în acest exemplu, utilizarea metodei sumãrii funcționează sub semnul diferenței crește semnificativ riscul de a se pierde în decizie.
Găsiți nedefinită integrala. Verificați acum.
Acesta este un exemplu pentru soluțiile independente. Răspunsul este la sfârșitul lecției.
Găsiți nedefinită integrala.
înlocuire:
Rămâne pentru a determina ce va deveni
Ei bine, ne-am exprimat, dar ce să facă cu restul numărătorul „Iksom“?!
Din când în când, în cursul rezolvării integralelor găsit următorul truc: vom exprima aceeași înlocuire!
Găsiți nedefinită integrala.
Acesta este un exemplu pentru soluțiile independente. Răspunsul este la sfârșitul lecției.
Găsiți nedefinită integrala.
Desigur, unii au observat că în masa mea de căutare este nici o schimbare regulă de variabile. Acest lucru a fost făcut în mod deliberat. De obicei, confundă explicația și înțelegerea, ca în exemplul de mai sus, aceasta nu apare în mod explicit.
Este timpul să-ți spun despre premisa de bază a schimbării metodei de variabile: în integrandul trebuie să fie o funcție și derivatul său: (caracteristici pot să nu fie în produs)
În acest sens, atunci când integralele de multe ori trebuie să se uite în tabelul de derivați.
În acest exemplu, observăm că gradul de numărătorul este unul mai puțin decât numitorul. Tabelul găsi derivați cu formula care reduce nivelul de doar o singură unitate. Și, apoi, în cazul în care marca pentru numitor, atunci sunt șanse ca numărătorul va fi transformat în ceva bun.
Apropo, nu este atât de dificil de a aduce sub funcția semnului diferențial:
Trebuie menționat faptul că, pentru astfel de fracțiuni, o astfel de focalizare nu va trece (sau mai exact, pentru a aplica va trebui să nu numai de înlocuire de bun venit). Integrarea unor fracții pot fi învățate în integrarea clasă a unor fracțiuni.
Iată câteva exemple tipice pentru soluțiile independente din aceeași operă:
Găsiți nedefinită integrala.
Găsiți nedefinită integrala.
Decizia la sfârșitul lecției.
Găsiți nedefinită integrala.
Consultați tabelul și pentru a găsi noastre cosinus derivați arc :. Suntem invers cosinusul, și ceea ce părea a fi derivatul său în integrandul.
Regula generală:
Pentru notam funcția în sine (și nu un derivat al său).
În acest caz :. Rămâne să se determine ce va deveni restul integrandul.
În acest exemplu, am găsit semnul pentru detalii - o funcție complexă.
Sau pe scurt:
Prin regula proporției, ne exprimăm conținutul dorit:
Aici ia funcția sub semnul diferenței nu este atât de ușor.
Găsiți nedefinită integrala.
Exemplu de decizie independentă. Răspunsul este destul de aproape.
cititorii îndatoritor au observat că am analizat câteva exemple de funcții trigonometrice. Nu este surprinzător, deoarece la integralelor funcțiilor trigonometrice alocat o lecție separată. Mai mult decât atât, clasa specificată oferă unele îndrumări utile pentru înlocuirea unei variabile, care este deosebit de important pentru incepatori, care nu sunt întotdeauna și nu imediat clar ce fel de înlocuire ar trebui să fie efectuate într-o anumită parte integrantă. De asemenea, unele tipuri de substituții pot fi găsite în articolul integrală certe de. Exemple de soluții.
Mai mulți studenți cu experiență se pot familiariza cu înlocuirea standard integralelor funcțiilor iraționale. Schimbare în integrarea rădăcinilor este specifică, iar echipamentul este diferită de cea pe care ne-am uitat la în această lecție.
Soluții și răspunsuri: