În total diferențialele ecuații diferențiale

Este arătat cum să recunoască ecuația diferențială ordinară diferențială. Metode de rezolvare a ecuațiilor în total diferentiale. Un exemplu de soluția ecuației diferențiale cu totală în două moduri.

Primele ecuații diferențiale de ordinul în total diferentiale - această ecuație a formei:
(1)
în cazul în partea stângă a ecuației este diferențial total al unei funcții U (x, y) de variabile x, y:
.
În același timp.

Dacă găsiți o astfel de funcție U (x, y). ecuația devine:
dU (x, y) = 0.
integrantă generală:
U (x, y) = C,
unde C - constantă.

Dacă ecuația diferențială a primei derivate de comandă este înregistrată prin:
,
atunci este ușor să conducă la o formă (1). Pentru a face acest lucru, se înmulțește ecuația de dx. Apoi. Ca rezultat, obținem ecuația exprimată în termenii diferențialele:
(1).

ecuații diferențiale în domeniul proprietății diferențiale totale

Pentru a ecuației (1) a fost în ecuație diferențială completă, necesare și suficiente pentru a satisface relația:
(2).

evidență

Mai mult, presupunem că toate funcțiile utilizate în dovada sunt determinate și derivații corespunzători într-un anumit interval de valori ale variabilelor x și y. Punctul x 0. y 0 face parte, de asemenea, în acest domeniu.

Să demonstreze necesitatea condiției (2).
Să presupunem că partea stângă a ecuației (1) este un diferențial al funcției U (x, y):
.
atunci
;
.
Deoarece derivata a doua nu depinde de ordinea de diferențiere,
;
.
Rezultă că. Necesitatea condiției (2) este demonstrată.

Demonstram suficiența (2).
Să presupunem că starea (2):
(2).
Arătăm că putem găsi o funcție U (x, y). că presiunea diferențială:
.
Aceasta înseamnă că există o funcție U (x, y). care satisface ecuația:
(3);
(4).
Vom găsi o funcție. Integrați ecuația (3) x x de la 0 la x. Având în vedere că y - este o constantă:
;
;
(5).
Diferențierea în ceea ce privește y cu excepția faptului că x - o constantă și se aplică (2):

Ecuația (4) este îndeplinită dacă
.
y integrabilă de la 0 la y y:
;
;
.
Substituind în (5):
(6).
Așa că am găsit o funcție a cărei diferențial
.
Suficiență.

În formula (6). U (x 0. y 0) este o constantă - valoarea funcției U (x, y) la punctul x y 0. 0. Acesta poate fi setat la orice valoare.

Cum de a recunoaște ecuația diferențială ordinară diferențială

Luați în considerare ecuația diferențială:
(1).
Pentru a determina dacă aceasta este obișnuită ecuație diferențială, este necesar să se verifice starea (2):
(2).
În cazul în care deține, atunci această ecuație diferențială ordinară. Dacă nu - atunci acest lucru nu este obișnuită ecuație diferențială.

Verificați dacă ecuația diferențială ordinară:
.

aici
.
Diferențiaze y. Avand x constante:

.
Diferențiabilă în x. Având în vedere Y constantă:

.
întrucât:
,
dat ecuația - diferențială totală.

Metode de rezolvare a ecuațiilor diferențiale în total diferentiale

Metoda diferențială alocare secvențială

Cea mai simplă metodă de rezolvare a ecuațiilor diferențiale în total este metoda de selecție diferențială secvențială. Pentru a face acest lucru, aplicăm formula de diferențiere, scrisă în formă diferențială:
du ± = d dv (u ± v);
v du + u = d dv (uv);
;
.
În aceste formule, u și v - expresii arbitrare, compus din toate combinațiile de variabile.

Anterior, am constatat că această ecuație - în total diferentiale. Converti:
(P1).
Rezolvarea ecuației diferențiale secvențial alocare.
;
;
;
;

Metoda de integrare succesivă

In aceasta metoda, suntem în căutarea pentru funcția U (x, y). satisface ecuația:
(3);
(4).

Integrați ecuația (3) x. Având în vedere Y constantă:
.
Aici φ (y) - o funcție arbitrară a lui y. care urmează să fie determinată. Acesta este constanta de integrare. Substituind în ecuația (4):
.
De aici:
.
Integrarea, obținem φ (y), și astfel, U (x, y).

Rezolva ecuația diferențială ordinară:
.

Anterior, am constatat că această ecuație - în total diferentiale. Introducem notația:
.
Funcția Privind U (x, y). diferențială care este partea stângă a ecuației:
.
apoi:
(3);
(4).
Integrați ecuația (3) x. Având în vedere Y constantă:
(A2)
.
Diferențierea în ceea ce privește y:

Integrala generală a ecuației:
U (x, y) = const.
Noi combina cele două unul permanent.

Metoda de integrare a lungul curbei

Funcția U. definită de relația:
dU = p (x, y) dx + q (x, y) dy,
Acesta poate fi găsit prin integrarea acestei ecuații de-a lungul unei curbe de conectare puncte (x 0. y 0) și (x, y):
(7).
ca
(8)
integrala depinde numai de coordonatele inițiale (x 0. y 0) și (x, y), punctele finale și nu depind de forma curbei. De la (7) și (8) obținem:
(9).
Aici, x și y 0 0 - permanent. Prin urmare, U (x 0. y 0) - este de asemenea constant.

Un exemplu de o astfel de definiție U a fost obținută în proprietățile dovada ecuației diferențiale totale:
(6).
Aici integrarea este realizată în primul rând pe segmentul paralel cu axa y. din punctul (x 0. y 0) la punctul (x 0. y). Apoi, integrarea se face pe segmentul paralel cu axa x. din punctul (x 0. y) la punctul (x, y).

Într-un caz mai general, este necesar să se prezinte ecuația curbei care unește punctele (x 0. y 0) și (x, y) în formă parametrică:
x 1 = s (t 1); y 1 = r (t 1);
x 0 = s (t 0); y 0 = r (t 0);
x = s (t); y = r (t);
și să se integreze la t 1 de la t 0 la t.

Integrarea cea mai simplă este realizată de-a lungul segmentului care unește punctele (x 0. y 0) și (x, y). În acest caz:
x 1 = x 0 + (x - x 0) t 1; y 1 = y 0 + (y - y 0) t 1;
t 0 = 0; t = 1;
dx 1 = (x - x 0) dt 1; 1 dy = (y - y 0) dt 1.
După substituție, acesta este obținut prin integrala de la 0 la t 1.
Această metodă, cu toate acestea, duce la calcule destul de greoaie.