Grupurile și Algebra

1.2 Grupe și algebra. concepte de bază

Definirea grup

Lăsați un set de elemente de G g1. g2. gn. cu următoarele proprietăți:
  1. Determina legea de multiplicare a elementelor Gl = gk GJ. și dacă Gl. gj G, apoi Gi gj = gk G,
    i, j, l = 1, 2. n.
  2. Legea Gi asociativitate (gj gk) = (Gi gj) gk.
  3. Există un element e de identitate, EGI = Gl. i = 1, 2. n.
  4. Există un element g invers i -1. g i = e -1 Gi, i = 1, 2. n.

Apoi, pe setul G un grup de elemente g1. g2. gn

Ca un exemplu simplu, ia în considerare rotația planului. Definim set $ tuturor rotațiilor prin unghiurile # 966;
  1. Multiplicarea lege în acest caz - este adăugarea de unghiuri: # 966; 1 + # 966; 2 = # 966; 3 F.
  2. legea asociativă este scris ca ( # 966; 1 + # 966; 2) + # 966; 3 = # 966; 1 + ( # 966; 2+ # 966; 3).
  3. Elementul de identitate în acest caz - pe unghiul de rotație de la 0 (+2 π n).
  4. Reverse Element, în acest caz, inversarea unui unghi - # 966; (2 π n).

Astfel, rotația în jurul unei axe perpendiculare pe planul formularului selectat grupul.
Luați în considerare axele de rotație x, y, z, definind un sistem de coordonate cartezian în spațiul tridimensional cu un unghi # 952; 3 în x y plan în jurul axei z:

unde # 949; ijk - absolut antisimetrica al treilea rang. Rețineți că matricea Al l = 1, 2, 3, antisimetric, în timp ce matricea -orthogonal Rk, adică În cazul în care T reprezintă pictograma transpunere. Rotații poate fi complet specificat de generatoarele Al l = 1, 2, 3, cu alte cuvinte, un grup de rotații 3-dimensionale (ca, într-adevăr, orice grup continuu cu pana la transformatei discrete) sunt complet caracterizate prin specificarea algebra. și anume specificând generatoare Al. l = 1, 2, 3, și combinații liniare relațiile lor de comutație.

definirea algebra

L - algebra Lie peste câmpul numerelor reale K, în cazul în care:
(I) L este un spațiu liniar peste K (x L definit pentru multiplicarea cu numărul K)
(Ii) pentru x, y L definit comutator [x, y], de asemenea, aparținând L, în care [x, y] are următoarele proprietăți:
[X, y] = [x, y], [x, y] = [x, y] cu K și [x1 + x2. y] = [x1. y] + [x2. y],
[X, y1 + y2] = [x, y1] + [x, y2] pentru toate x, y L;
[X, x] = 0 pentru toate x, y L;
[[X, y] z] + [[y, z] x] + [[z, x] y] = 0 (identitate Jacobi).