geometrie Bilete

Stat insulele principale de comunicare proiectarea paralelă cu condiția ca segmentele de linie proiectate nu sunt paralele și linia dreaptă L.

1 0 Linia de proiecție este o linie dreaptă.

2 0 Lungimea de proiecție a unui segment.

3 0 Proeminențele segmente paralele - segmente paralele sau segmente aparțin.

4 0 Proiec segmente paralele, precum și proektsiiotrezkov situată pe una segmente drepte sunt proporționale cu ea însăși.

De la legarea Insulele 4 0 implică faptul că proiecția punctului mediu este punctul median al intervalului de proiecție.

Definiția. Această linie se numește perpendicular pe planul în cazul în care este perpendicular pe orice linie dreaptă situată în planul.

Teorema: Dacă linia este perpendiculară pe două linii intersectate situate într-un plan care este perpendicular pe acest plan.

Teorema: O linie dreaptă trasate în planul bazei c / o înclinată perpendicular proiecția pe planul perpendicular pe ea însăși și înclinată

Docking în: AH - perpend. la un avion, AM - înclinat, și - drept a avut loc într-un apartament. o c / o litera M perpend la proektsiiHM înclinat.

Luați în considerare un plan. AMH. Direct și ^ acel plan, pentru că ea ^ la două linii drepte care se intersectează AH și MH. De aici traseul. că dreaptă și perpendicular pe orice linie dreaptă situată în planul de AMH, în special ^ AM. QED

Teorema: Dacă una dintre cele două linii paralele perpendiculare pe planul, iar cealaltă linie este perpendicular pe acest plan.

Docking în: Să considerăm două linii paralele A și A1 și planul unui, astfel încât a ^ a. Demonstrăm că a1 ^ o.

Desenați orice linie x în planul A.

Deoarece o ^ a, apoi o ^ x. Astfel, linia A1 este perpendicular pe orice linie situată într-un plan a, adică, a1 ^ a. QED

DEFINIȚIE: Două intersectându plane perpendiculare sunt numite atunci când unghiul m / de la ei este egală cu 90 0.

Teorema: Dacă una dintre cele două planuri se extinde c / o linie perpendiculară pe cealaltă.

plan, aceste planuri sunt perpendiculare.

Andocarea: Luați în considerare un plan și b sunt astfel încât un plan trece c / o AB linie perpendiculară pe planul b și intersectându-o la punctul A. Vom arăta că o ^ b. Planul a și b se intersectează într-o linie dreaptă de curent alternativ, și AB ^ AC, deoarece pentru conv. AB ^ b, și, prin urmare, linia AB ^ la orice linie dreaptă situată în planul b.

Desenați o linie dreaptă în planul b AD, AS ^. atunci ÐUnghiul diedru liniar format la intersecția avioanelor a și b - BAD. dar ÐBAD = 90 0 (AB ^ b). În continuare, dar unghiul m / y avioane a și b este egal cu 0. 90 adică a ^ b. QED

Sbok = P * a (a -. Muchie laterală perimetrale P)

Teorema: Dacă două linii sunt perpendiculare pe planul, atunci ele sunt paralele.

Docking în: Luați în considerare liniile și a și b. perpendicular pe planul a. Demonstrăm că un ½½b.

Prin orice punct M trage o linie dreaptă b b1. paralel cu linia a. Dovedește că linia coincide cu linia b1 b. Astfel, se dovedește că a½½ b. Să presupunem că liniile b și b1 nu sunt aceleași. Apoi, în planul b, b conținând direct și b1. c / o litera M sunt două linii drepte perpendiculare pe linia dreaptă c, care se intersectează într-un plan și b. Dar acest lucru nu este posibil, traseul, dar, a½½ b. QED

DEFINIȚIE: Depărtarea m / s la o linii oblic și planul c / o altă linie paralelă cu prima, a numit distanta m / linii oblice y.

DEFINIȚIE: Dacă marginile laterale ale prismei sunt perpendiculare bazele, prisma se numește directă altfel înclinată.

Teorema: Aria unei suprafețe laterale prisme drepte este egală cu produsul din perimetrul bazei la înălțimea prismei.

Docking in: prisme drepte Bok.grani - dreptunghiuri ale căror baze - parte a bazei prismei și o înălțime egală cu înălțimea h a prismei. Aria suprafeței laterale a prismei este egală cu suma suprafețelor de dreptunghiuri menționate anterior, și anume egală cu suma produselor de pe părțile laterale ale înălțimii de bază h. Introducerea factor h consolelor, consolele obține o sumă laturile bazei prismei, adică, perimetrul său P. Astfel, Sbok = P * h. QED

Luați în considerare două ABCD paralelogram egal și A1 B1 C1 D1. situat în avioane, astfel încât segmentele AA1, BB1, CC1. DD1 și paralele.

Suprafața compusă din două paralelograme egale ABCD și A1 B1 C1 D1 și patru paralelograme numite paralelipiped m denotă ABCDA1. D1.

Paralelograme, care este alcătuit dintr-o cutie, numită fețe. partea lor - coaste. și vârfurile de paralelogram - top box.

Teorema: diagonalele paralelipipedul se intersectează într-un singur punct și acel punct împărțită în jumătate.

Andocarea: Luați în considerare patrulaterului A1 D1 CB, ale cărui diagonalele sunt diagonalele ale ABCDA1 paralelipipedică. D1. pentru că A1 D1 ½½ BC și

A1 D1 = BC, atunci A1 D1 CB - paralelogram. De aceea, diagonalele A1 C și D1 B se intersectează la un anumit punct O și acest punct sunt secționate.

Teorema: opuse fețele paralelipipedului sunt paralele și egale.

Docking în: Demonstrăm se confruntă cu ABB1 A1 și DCC1 D paralelipipedice ABCA1. D1. pentru că ABCD și ADD1 A1 - paralelograme, apoi AB½½DC și AA1 ½½DD1. Deci, arr. două linii intersectate AB și AA1 o față, respectiv, paralele cu cele două linii de CD-uri și DD1 altele față. Prin urmare, pe baza plat paralel. Rezultă că fețele ABB1 A1 și D1 DCC1 paralel.

Dovedim aceste chipuri. pentru că toată fața cutiei - paralelograme, apoi AB = DC și AA1 = DD1. Din același motiv unghiurile și laturile A1 AB D1 DC, respectiv, au aceeași direcție, și, prin urmare, aceste unghiuri sunt egale. Deci, arr. două laturi adiacente și Ð m / y doi ma Parallel ABB1 A1 respectiv. egală cu două laturi adiacente au Ð m / ei de abur-ma DCC1 D1. astfel încât acestea sunt paralelograme

DEFINIȚIE: cutie numită dreptunghiulară. dacă marginile sale laterale perpendicular pe baza, iar baza este un dreptunghi.

Teorema: Pătratul diagonalei paralelipiped dreptunghic este egală cu suma pătratelor trei dimensiuni.

Docking în: Vom dovedi că AC1 2 = AB 2 + 2 + AD AA1 2 Deoarece CC1 margine perpendicular pe ABCD de bază, atunci ÐACC1 liniar.

ACC1 de triunghi dreptunghic, folosind teorema lui Pitagora obținem AC1 2 = AC 2 + 2 CC1.

Dar AC este diagonala ABCD dreptunghi, astfel încât AC = AB 2 2 + AD 2. Mai mult decât atât, CC1 = AA1.

Următoarea AC1 but-2 = AB + AD 2 2 2 + AA1 QED

Luați în considerare poligon A1 A2. O și punctul P nu se află în planul poligonului. Combinând punctul P cu segmentele nodurilor poligon, obținem n triunghiuri: PA1 A2, A3 PA2. Placă A1.

Poliedru făcut de-gon n A2 A1. O și n triunghiuri, numita piramidă

Poligon A1 A2. O se numește bază. și triunghiuri - marginile laterale ale piramidei. Punctul P se numește un vârf al piramidei, iar PA1 segmente. AP2. Pan - marginile sale laterale.

Teorema: Un plan paralel cu baza piramidei și intersectându-se taie ca o piramidă.

Andocarea: S-piramidă vertex A - versh.osnovaniya și A 1 - punctul de intersecție a planului de tăiere cu nervurile laterale. SA. Se supune Omotetie piramida cu privire la factorul vertex S. homothety. k = 1 SA / SA

În acest plat să fie bază are loc în paralel. Este plat de prelungire c / o litera A 1. adică într-un plan de tăiere și o urmă, dar întreaga piramida - se taie în această parte plan. pentru că homothety. există o asemănare, compartimentul. yavl piramidelor. ca aceasta. QED

Teorema: Zona de suprafață în partea dreaptă a piramidei este egală cu jumătate din produsul din perimetrul bazei pe apofemu.

Andocarea: Fețele laterale ale piramidei pravidnoy - triunghiuri isoscele egale, bazele de care - latura bazei piramidei, iar apotemă egală înălțime. Aria suprafeței laterale S este egală cu suma produselor din latura bazei piramidei jumătate din apotemă d. Factor 1/2 Introducerea * d categorisit obține în părți suma între paranteze de baza piramidei, adică, perimetrul său. QED

Teorema: volumul prismei este produsul de bază pătrat și înălțimea.

Doc: 1) Luați în considerare linia treug. ABCA1 B1 C1 prismă cu un volum V și o înălțime h. Desenați o înălțime triunghi ABC otrez.BD care separă acest treug. două treug.

parts BB1 D Plane această prismă, în două premii. care yavl baze. treug dreptunghiular. ABD și BDC. Prin urmare, volumele V1 și V2 sunt, respectiv, de prisme

2) Vom demonstra teorema pentru prismei arbitrară cu înălțimea h și de zona. bazei S. Această prismă poate fi împărțită în treug directă. înălțimea prismei h.

Ne exprimăm volumul de fiecare premiu. prin formula (1) și se adaugă aceste volume. Introducerea paranteze h multiplicator pentru a obține suma ariilor paranteze baze de prisme triunghiulare, adică aria S a bazei originale a prismei. Astfel, domeniul de aplicare al prismei este Sh. QED

Pentru suprafața laterală a zonei de primire a cilindrului matura sale.

Deoarece aria dreptunghiului ABB 1 A 1 este AA 1 * AB = 2prh, apoi calcul suprafața laterală a cilindrului raza r și înălțimea h se obține formula Sbok = 2prh

Astfel, aria suprafeței laterale a cilindrului este egală cu produsul dintre lungimea cercului de bază la înălțimea cilindrului.

Teorema: Volumul conului este egală cu o treime suprafață a produsului de bază al înălțimii.

Andocare în: Luați în considerare conul de volum V. arbitrar. Con planul secțiunii perpendicular pe axa Ox este un cerc cu centrul la t.M1 intersecția acestui plan cu axa Ox.

Lăsați raza acestui cerc c / o R1. o arie a secțiunii de h / r S (x), unde x- abscisa punctul M1. Dreptunghiulară triunghiuri similaritate OM1 A1 și OMA rezultă că OM1 / OM = R1 / R, sau x / h = R1 / R, unde R1 = xR / h.

Deoarece S (x) = pR1 2. atunci S (x) = pR 2 x 2 / h 2.

Aplicarea formulei de bază pentru calcularea volumelor organismelor se obține:

bazei conului Zona S este deci pR 2.