fracție continuă, matematică, care îmi place
Punct de vedere istoric fracțiuni continue sau continuate au apărut în legătură cu necesitatea de a găsi cea mai bună aproximare a unui număr real prin intermediul sunetului. Astfel, proiectarea de unelte pentru a transmite rotația de la este nevoie de o roată la alta pentru a reduce pe unul dintre dintii lor, iar celălalt -, astfel încât cel mai bun raport se apropie de un raport predeterminat de viteze unghiulare. Este clar că dinții de jos trebuie să fie tăiate, astfel încât acesta va fi mai profitabil. Interesant, stabilirea lungimii anului este redusă la aceeași problemă - pentru că Pământul se învârte în jurul Soarelui pentru a doua zi, și este un număr irațional. Să vedem ce este fracțiunea a continuat, și modul în care acestea se referă la algoritmul lui Euclid pentru a găsi cel mai mare divizor comun a două numere întregi.
Opredelenie.Nepreryvnoy (sau lanț) fracție este o expresie a formei
Rola continuă poate fi fie finit sau infinit.
Numerele implicate în extinderea fracțiunii continue, numită coeficienti parțiale.
Uneori, o fracțiune a continuat desemnate după cum urmează (folosind coeficientii parțiale).
Ia-un număr real arbitrar. Să - partea integrală a (- cel mai mare număr întreg nu mai mare). În cazul în care numărul nu este un număr întreg, obținem. În cazul în care nu este un număr întreg, putem găsi și o parte din ea și, de asemenea, pentru a găsi numărul, etc.:
din care obținem extinderea într-o fracțiune a continuat:
In mod clar, dacă numărul este irațional, atunci fracția continuă este infinit. Într-adevăr, fiecare fracție continuă finită este un număr rațional.
Exemplul 1. Descompune un număr continuat fracție.
și anume . Prin urmare, coeficientii parțiale se va repeta. Și într-o fracțiune de expansiune a continuat are forma
Dacă numărul este rațional, este reprezentabil fracțiilor continuat. Aranjați în fracțiune a continuat, în acest caz, folosind algoritmul lui Euclid.
Prin urmare, înlocuirea consecventă a fiecărei fracții
expresia adecvată, obținem o reprezentare
Ei au numit convergents.
Teorema. Pentru fracțiile corespunzătoare cu relația
Cu alte cuvinte, numărătorul și numitorul fracțiunilor pot fi găsite secvențial din formulele
Dovada. Vom demonstra prin inducție. Verificăm baza de inducție. Să presupunem. Apoi, așa cum este obținut din înlocuirea expresiei pentru numărul de pe, avem
Să presupunem acum că egalitatea
Astfel, pentru egalitatea din aceeași specie. Acest lucru dovedește teorema.
Calculele și convenabil de a folosi tabelul de mai jos:
Notă. Ultima coloană scrieți doar în cazul în care - o fracție ireductibilă cu un numitor pozitiv :.
Exemplul 2. Descompune o fracție ireductibilă fracțiune a continuat:
Obținem fracțiunea a continuat:
Tabelul după cum urmează:
Astfel, fracțiunile corespunzătoare sunt după cum urmează:
În cazul în care numărătorul și numitorul nu sunt relativ prime (GCD), în ultima coloană a tabelului va fi numărătorul și numitorul fracției reduse egală cu o fracție dată.
Exemplul 3. se descompun într-o fracție continuă:
Declarația 1. 1) Pentru a avea
Dovada. De fapt, când ne
Mai departe, din ecuațiile
în cazul în care ar trebui să fie imediat necesară.
Cea de a doua parte a afirmatiei se obține după cum urmează:
înmulțirea GBR de atunci.
Exemplul 4. Aici o reprezentare liniară a celor mai mari numere comune și divizor (a se vedea exemplul 3) .:
Propoziția 2. Să presupunem că, și dacă - fracție rațională ireductibilă cu un numitor pozitiv, de asemenea, să le. Apoi se află între și, mai aproape de a decât.
Dovada. Înlocuiți în ecuația
în cazul în care este clar că primul dintre diferențele, între paranteze, semnul opus celui de al doilea și numeric inferior (din), ceea ce demonstrează afirmația noastră.
1. Bavrin II Fribus EA Probleme de matematica interesante.
2. IM Vinogradov Bazele teoriei numerelor
3. Nesterenko Yu EM Nikishin Eseu despre fracții continue, Quantum, 1983. - N5. - C- 16-20; N6. - S. 26-30
O treime mai mult de o secundă. Comparația este în zecimal notatia înseamnă zece împărțit la o treime și unu la zece fracțiune de secundă înseamnă 30 este mai mare decât 20. Înmulțiți zecimal 10 în fracția inversată. De câte ori o treime este găsit în top zece zecimale. Și de câte ori 3 într-o unitate? Nici măcar o dată. Și sunt hexazecimal 0123456789ABCDEF de calcul. Literele sunt anumite condiții prealabile pentru program de calculator obrazovaniyayu care calculează cel mai rapid, cu o cantitate mai mică de memorie. Totul a pierdut. Slip!
Am băut linie. Oamenii spun linie de băut. După comparație statistică se desfășoară în zece în câmpul comun cu numere zecimale și nu într-o bază comună, care este raportul dintre bază. Eșantionul de o duzină. Comparați această statistică și statisticile iau în considerare nevoile cel mai mare număr de probă investigate matrice numerică.
Am băut aceeași linie în curând.
Sem timp otmer ori odyn pus sub acuzare. Și dacă vom compara general și frecvența particulară a particularului în general?
O treime mai puțin de o secundă sau ceva ce nu înțeleg?