Existența unei baze spațiu vectorial

Definiția. Spațiul vectorial numit finit dacă are un sistem finit generarea vectorilor.

Notă. Vom studia spațiu vectorial numai finit-dimensional. În ciuda faptului că știm deja destul de multe despre baza unui spațiu vectorial finit-dimensional, nu avem încredere că baza unui astfel de spațiu există la toate. Toate proprietățile obținute anterior au fost obținute în ipoteza că există o bază. Următoarea teoremă se referă la această problemă.

Teorema. (Existența unei baze spațiu vectorial finit.)

Orice spațiu finit dimensional vectorial are o bază.

Dovada. Prin ipoteză generarea unui sistem finit vectori finite ale unui spațiu vectorial V :.

Putem presupune că toți vectorii acestui sistem este non-zero, deoarece în caz contrar, le putem elimina din sistem și restul sistemului de vectori este sistemul de generare finit.

Remarcăm la o dată la fel ca și în cazul generat de setul este gol, și anume, nu conține un vector, atunci, prin definiție, se crede că spațiul vectorial este zero, adică . În acest caz, prin definiție, se crede că baza baza spațiului vectorului zero, este gol, iar dimensiunea sa este, prin definiție, considerată a fi zero.

Să presupunem că un spațiu vectorial nenul și sistemul de vectori nenuli este sistemul său de generare final.

În cazul în care acest sistem este liniar independent, atunci suntem, pentru că liniar sistem de generare independent și un vector de vectori de spațiu este baza ei.

Dacă acest sistem de vectori este liniar dependent, atunci unul dintre vectorii acestui sistem este exprimat liniar prin stânga și pot fi eliminate din sistem, iar sistemul de vector rămase, va continua să genereze.

Noi renumerota vectorii rămași ai sistemului :. Alte argumente sunt repetate.

În cazul în care acest sistem este liniar independent, atunci este o bază. Dacă nu, atunci din nou, există un vector în acest sistem, care poate fi îndepărtată, iar restul sistemului generează.

Repetarea acestui proces, nu poate fi lăsat cu un vector gol al sistemului, deoarece cel puțin, am ajuns la sistemul de generare a unui vector nenul care este liniar independentă, și, prin urmare, o bază. Prin urmare, la un moment dat am ajuns la vectorii liniar independente și sistem de generare, adică la bază, QED

Lema. (sisteme O vectori în spațiul vectorial n-dimensional.)

1. Orice sistem de vectori este liniar dependent.

2. Orice sistem liniar independent de vectori este baza ei.

Dovada. 1). Prin ipoteză, numărul vectorilor în baza acelorași și este baza sistemului de generare, astfel încât numărul de vectori în orice sistem liniar independent nu poate depăși, de exemplu, Orice sistem care conține vectorul este liniar dependent.

2). Astfel cum rezultă din rezultatele de mai sus, orice sistem de vectori liniar independenți ai unui spațiu vectorial este maximizată, și în consecință o bază.

Teorema (baza complement O anterior.) Orice sistem de vectori liniar independenți ai unui spațiu vectorial poate fi adăugat la baza acestui spațiu.

Dovada. Să fie un spațiu vectorial de dimensiune n, și anume sistemului său liniar independent de vectori. Apoi.

În cazul în care, prin lema anterior, acest sistem este o bază, și nimic pentru a dovedi.

În cazul în care, atunci, sistemul nu este un maxim liniar de sistem independent (în caz contrar, ar fi baza, ceea ce este imposibil, din moment). Prin urmare, există un vector, astfel încât sistemul - sunt liniar independente.

În cazul în care, în prezent, sistemul este baza.

În cazul în care, cu toate acestea, totul se repetă. procesul de sistem reumplute nu poate continua la nesfârșit, pentru că la fiecare pas, vom obține un sistem de vectori liniar independenți ai spațiului, și prin lema precedentă numărul de vectori într-un astfel de sistem nu poate depăși dimensiunea spațiului. Prin urmare, la un moment dat, vom veni la baza acestui spațiu.

Exemplu. Fie K - orice domeniu - aritmetice vector coloane de înălțime spațiu. Apoi.

Pentru a demonstra acest lucru, ia în considerare sistemul de coloane din acest spațiu:

Am demonstrat deja că acest sistem este liniar independent. Să ne dovedi că este un sistem de generare de coloane spațiale.

Să - coloana arbitrară. Apoi, este evident egalitate. Ie Sistem - generarea și, prin urmare, este o bază. Prin urmare, QED

aritmetică spațiu vectorial coloană înălțime n este numită canonic sau natural.