Exemple de utilizare cu formula convoluția

Exemplul 30. Să variabile aleatoare independente și să aibă distribuția normală standard. Pretindem că suma lor are o distribuție normală cu parametrii și.

Conform formulei lui convoluție. cantitate egală cu densitatea

Ultimul Integrala este egal cu unu, deoarece integrandul este densitatea distribuției normale cu parametrii și.

Deci, am constatat că valoarea densității este densitatea distribuției normale cu parametrii 0 și 2.

În cazul în care suma a două variabile aleatoare independente din aceeași distribuție (eventual cu diferiți parametri) are aceeași distribuție, se spune că această distribuție este stabilă în ceea ce privește însumarea.

În următoarele afirmații, demonstrează că este oferită cititorului, listează aproape toate distribuțiile stabile.

Lema 3 Lăsați variabilele aleatoare și independente. Apoi.

Lema 4. Fie variabilele aleatoare și independente. Apoi.

Lema 5. Să variabilele aleatoare și independente. Apoi.

Lema 6. Să variabilele aleatoare și independente. Apoi.

Toate aceste afirmații, vom dovedi mai târziu, folosind aparatul de funcții caracteristice, dar cu puțină răbdare puteți încerca să le dovedească în mod direct, ca în exemplul 30.

distribuție Exponențiale nu este stabilă în însumarea, dar este un caz special al distribuției gamma. care este deja stabilă în ceea ce privește însumarea.

Lema 7. Fie variabilele aleatoare sunt independente de distribuție exponențială. Apoi.

Dovada. Dovedim afirmația prin inducție. Când este adevărat, în virtutea egalității. Să presupunem că lema este valabilă pentru. Demonstrăm că este adevărat pentru. Prin ipoteza de inducție are distribuție, adică distribuția densității de magnitudine

Apoi, prin suma de convoluție este egală cu densitatea

Deoarece pentru, adică când, densitatea integralei este diferit de zero numai dacă variabila de integrare variază în funcție. Atunci când integrandul, și, împreună cu ea, iar densitatea este zero. Când avem:

Prin urmare, după cum este necesar.

Exemplul 31. Repartizarea uniformă nu este stabil în ceea ce privește însumare. Gasim funcție și distribuția densității suma a două variabile aleatoare independente cu aceeași uniformă asupra distribuției [0, 1], dar nu și prin formula convoluția și folosind probabilitatea geometrică.

lăsa # 151; sunt variabile aleatoare independente. Un cuplu poate fi considerat ca punct de coordonate, aruncate la întâmplare în unitatea pătrat. Apoi, zona este zona din interiorul pătratului sub directă. Această zonă # 151; triunghi umbrit cu, și un pentagon cu. În cele din urmă, obținem:

valoarea densității de distribuție este

acest # 151; densitatea așa-numitul „triunghi“ de distribuție Simpson. Vedem că o distribuție uniformă nu este stabil în ceea ce privește însumarea.