Ecuațiile primul ordin

Ecuatii cu variabile separabile. ecuații omogeni Editare

Ecuațiile forma f (x) d x = g (y) d y numită ecuația cu variabile separate. Acesta este un caz special de ecuații în total diferențiale: U (X y.) = ∫ x 0 xf (s) ds - ∫ y 0 yg (t) dt> ^ f (s) DS- \ int \ limite _> ^ g (t ) dt>. U (x. Y) = C

Ecuațiile forma f 1 (x) g 1 (y) d x = f 2 (x) g 2 (y) d y (x) g_ (y) dx = f_ (x) g_ (y) dy> - ecuații cu variabile separabile. Ele reduc la ecuații cu variabile separate: f 1 (x) f 2 (x) dx = g 1 (y) g 2 (y) dy (x)> (x) dx = >> (y)> (y)> > dy>. De asemenea, posibile soluții forma x (y) = x 0>. dacă f 2 (0) = 0 (0) = 0> și y (x) = y 0>. dacă g 1 (0) = 0 (0) = 0>.

Ecuațiile de forma (1), în cazul în care funcțiile M și N astfel încât: M (. Α x α y) = Α n M (x y.) M (x, y)>. N (α x. Α y) = α n N (x. Y) ∀ α> 0 N (x, y) \ forall \ alpha> 0> numit omogen. n - gradul de omogenitate.

Linear Ecuații Editare

diferențială liniară. ecuații ecuația 1 ordine a formularului numit d y d x + p (x) y = f (x)> + p (x) y = f (x)>. în care p și f - o funcție continuă definită pe intervalul.

Să considerăm ecuația omogenă: d y d x + p (x) y = 0> + p (x) y = 0>.

Soluție: y = c ⋅ e - ∫ x 0 x p (S) d S> ^ p (S) dS >>. cu - o constantă arbitrară. Soluția ecuației neomogene este obținută prin variația constantă: y = c 0 ⋅ e - ∫ x 0 xp (S) d S + ∫ x 0 xe - ∫ ξ xp (S) d S f (ξ) d ξ \ cdot e ^> ^ p (S) Ds> + \ int \ limite _> ^ e ^^ p (S) dS> f (\ xi) d xi \>

Bernoulli și ecuația Riccati Editare

y = 0 - de asemenea, o soluție.

y „+ p (x) y + q (x) y 2 = f (x) = f (x)> - ecuația Riccati.

dy 1 dx ⏟ 0 + dzdx + p (x) y 1 ⏟ 0 + p (x) z + q (x) z 2 + q (x) 2 y 1 z + q (x) y 1 2 ⏟ 0 = f (x) ⏟ 0 >> _ +> + \ underbrace> _ + p (x) z + q (x) z2 + q (x) 2y_z + \ underbrace ^> _ = \ underbrace _> termeni dedicate sunt zero, deoarece y 1> - soluție