ecuații trigonometrice Math și inegalitățile
ecuații trigonometrice și inegalități
La rezolvarea ecuațiilor trigonometrice de control a constatat deciziile necesare în cazul în care:
1) în soluțiile utilizate în proces de transformări algebrice, care ar putea duce la domeniul crescut de (de exemplu, o reducere a fracțiunilor);
2) soluțiile utilizate în procesul de transformare trigonometrice, care ar putea duce la extinderea domeniului ecuației (este aplicarea formulelor trigonometrice ale căror stânga și din dreapta care au diferite definiții de câmp, de exemplu:
3) în procesul de construcție a soluției a fost aplicată pe ambele părți ale ecuației în același grad.
Fiecare dintre aceste cauze pot duce la apariția de rădăcini străine. Rețineți că utilizarea formulelor de n. 2 „dreapta la stânga“, dimpotrivă, poate duce la pierderea de rădăcini, datorită domeniului constricție.
Soluție ecuații trigonometrice, în majoritatea cazurilor se realizează fie prin înlocuirea variabilei sau factorizations, ci una și cealaltă metodă este aplicată în diferite variante, în funcție de ecuația particular. Prin urmare, în această secțiune, sunteți invitat la o clasificare mai detaliată a tipurilor de ecuații și metode de rezolvare a acestora trigonometrice.
Ambele părți ale reprezentat cu ușurință ca expresie care depinde numai de tgx:
Mai mult, substituția tgx = y. trigonometric raționalizare ecuație:
Cu toate acestea, este posibil să observați că valorile satisfac, de asemenea, ecuația originală. Acesta a pierdut rădăcinile. Care este motivul. Formulele bază de transformare, îngustarea definițiile regiune :.
Redistribuiti componentele ecuației:
Mai mult, partea din stânga se va folosi formula:
Acum, imaginați-vă păcatul x ca sinusul argument dublu:
Noi transporta toate componentele într-o parte a ecuației și scoate factorul comun din paranteze:
Din nou, vom folosi formula sinusul diferenței:
Ultima ecuație este echivalentă cu agregat:
Astfel, ecuația are două rădăcini de familie: și, dacă este infinit de multe rădăcini: if
Luați în considerare ca exemple de soluții combinate de ecuații, adică, ecuații în care variabila de mai sus, în diferite combinații produse operații iraționale, dezvăluind-exponențială, logaritmice și trigonometrice. Acest tip de solicitanți de locuri de muncă cauzează unele dificultăți. În centrul acestor provocări, de regulă, este un fel de setare psihologic negativ. Solicitantul pare a spune el însuși: „Eu am astfel de ecuații în școală nu au decis; ceva prea mult nakrucheno; este dincolo de puterile mele ". În acest sens, vom da două bucăți de sfaturi.
Consiliul mai întâi. În aparență locuri de muncă înseamnă că nu poți judeca ușurința sau dificultatea acesteia; dificultate - această caracteristică nu este locul de muncă, precum și eficacitatea cunoștințele și abilitățile. Începe să rezolve, încercați, încercați, în ciuda faptului că locul de muncă te simți „teribil“ și inaccesibile.
Sfat Doi. Rezolva ecuația combinate ca în cazul în care pentru acțiunea, delimitând partea irațională a soluției din diapozitiv, glisiera de trigonometric, etc. Aceasta se poate face prin introducerea de noi variabile. La sfârșitul deciziei este executată de către sau în alt mod a verifica rădăcinile.
Să atunci. Apoi, decide să nu aibă o ecuație combinat și trigonometrice. Folosind formula dublă argument sine:
„Parte Trigonometrice a“ soluția este finalizată; Apoi, aveți nevoie pentru a rezolva o ecuație exponențială cu n parametru:
În primul rând, ne aflăm la toate, dacă există n în rădăcinile acestei ecuații. Este clar că, din moment ce partea stângă a ecuației, ca suma gradelor de troicii, este întotdeauna pozitiv, condiția pentru existența rădăcinilor ecuației:
Noi rezolva această inegalitate. Dacă n> 0, este evident că sistemul rezultat este incompatibil. Dacă n ≥ 0,
Sistemul este echivalent cu inegalitatea n ≥ 0.
Astfel, având în vedere că, obținem concluzia: rădăcinile acestei ecuații există la valori ale lui n. n = 0, 1, 2, 3, .... Este în aceste condiții, se realizează, de asemenea, ecuația exponențială.
Transforma partea stângă a ecuației asupra proprietăților gradului:
Astfel, aceasta este o „familie“ este o pluralitate de logaritmi și combinate sursă rădăcini (indicativ - trigonometric) ecuație.
În primul rând, subliniem domeniul ecuației. Aceasta este dată de condițiile:
Fie acum. Apoi, în loc de combinat, au o ecuație logaritmică cu două variabile și a și b. Această ecuație este transformată în ecuație: Mai departe, dacă presupunem că, atunci avem o ecuație simplă rațională: rădăcina sa unică - y = 1. Deci, care este
Prin urmare, b = a. și anume Rădăcinile acestei familii este o ecuație trigonometrice: Este ușor de văzut că îndeplinește domeniul ecuației inițiale, și, prin urmare, este setul de rădăcini.
Rețineți că toate soluțiile ecuației, ar trebui să înceapă cu o privire atentă, atent, proiectat pentru a fi văzut în ecuație, inegalitate, etc. ceva interesant, special, unele „aroma“, care permite folosirea în a face cu o recepție non-standard. Acest „highlight“ nu este întotdeauna acolo, dar este o insultă să treacă cu vederea. În această ecuație un pic „condiment“ este că, dacă folosim (reclamantele, din păcate, de multe ori uitate) logaritmul proprietate de pe partea dreaptă a ecuației: că, odată, așa cum se spune, „ucide două păsări cu o piatră“: și a scăpa de radicale și du-te la unul dintre logaritmul bazei.
Astfel, în cazul în care r = 2, apoi în continuare, vom folosi formula ecuația trigonometrică argument sinus dublu:
Decizia totalitate prima ecuație este familia: a doua soluție:
Este necesar să se efectueze un audit găsit rădăcinile. Pentru a face acest lucru, vom scrie condițiile care definesc domeniul ecuației inițiale:
În mod evident, primul găsit familii - o familie de rădăcini străine, deoarece condiție este încălcată, iar a doua rădăcinile familiei străine sunt rădăcinile de forma (ca în acest caz, deși încă).
Astfel, rădăcinile sursei ecuații combinate:
Să introducem factorul două în partea stângă a ecuației de mai jos ca logaritmul exponent: și să treacă la baza logaritmului cinci pe partea stângă a ecuației:
„Aruncarea“ logaritmi, vom obține în continuare, având în vedere că și luând diferența dintre fracțiunile din partea stângă a ecuației:
Aceasta este o ecuație pătratică în ctgx. rădăcini și 1 -5. Ie Avem o colecție de:
Decizia totalitate prima ecuație este familia: a doua soluție: identitatea Aici aplicate:
În continuare, trebuie să verificați rădăcinile. Ca metodă de verificare în acest caz, alege substituție directă în ecuația originală. Este clar că acestea sunt substituite în ecuația originală doar o singură valoare aparținând acestei familii. Asta e de ajuns. REALIZARE PREFERATE lua valorile n = 0 și x = -1. Dar poti face chiar mai ușor: în seturile de echivalență
nu avem nici o îndoială, și deci ecuația originală poate fi substituit în mod direct cu fiecare dintre valorile rezultate ale ctg x.
În fiecare caz un elect mai convenabil abordări descrise mai sus.
Fie n = 0; Apoi, avem:
Astfel, familia: o pluralitate de sursă este inclusă în rădăcinile ecuație.
Să presupunem acum CTG x = -5 (aici punerea în aplicare a doua abordare, pentru că exercitarea de substituție directă x = -arcctg incomod 5). Apoi, din moment ce. Mai mult, din moment ce ctgx <0, то sin x и cos x должны быть разных знаков; имеем: и или и . В первом случае во втором случае
După substituție în ecuația originală, avem:
Astfel, familia include de asemenea o multitudine de rădăcini ale ecuației inițiale.
Prin definiție, aritmetică rădăcina pătrată a trece la un sistem echivalent de ecuații.
În prima etapă a soluțiilor ecuației de descoperim intervalul de valori admisibile și de a efectua transformări identice:
Soluția de rezolvare a ecuației este:
Utilizați în procesul de coborâre cu formula soluție, obținem:
După combinarea termeni similari obținem o ecuație care reduce la o ecuație pătratică.
Această ecuație este o pătratică prin înlocuirea variabilă.
Să păcat 2x = y. atunci:
În primul rând, găsiți domeniul funcției, lăsând în ecuația trigonometric:
Astfel, domeniul de definire a ecuației este:
În al doilea rând, vom rezolva ecuația. Pentru a face acest lucru, efectuați următoarele transformare identice:
Rezolva o ecuație trigonometrică.
Noi folosim în procesul de coborâre cu formula soluție:
După finalizarea modificării variabilelor, obținem:
Apoi, folosind identitatea trigonometrice pitagoreice:
În cazul în care, apoi, contrar identitățile trigonometrice de bază, aceasta înseamnă.
Vom împărți ambele părți pentru a obține:
în cazul în care - numere reale, n - indicele de omogenitate.
pentru că Prin urmare, rădăcinile sunt.
Se împarte ambele părți ale ecuației pentru a obține:
pentru că și apoi există un unghi cp, care, apoi obținem:
Această metodă se bazează pe următoarele. Luați în considerare ecuația de un tip special:
Cazul 1. Dacă c = 0, atunci ecuația este omogenă.
Cazul 2. Dacă ≠ 0 și (că există cel puțin unul dintre numerele a și b nu este egal cu 0), apoi se împarte ambele părți ale ecuației pentru a obține:
pentru că și apoi există un unghi cp, care atunci:
a) Dacă, adică , Ea nu are rădăcini;
b) în cazul în care, de exemplu, apoi:
Noi verifică inegalitatea :.
Evident, prin urmare, rădăcinile ecuației nu are.
Efectuăm ecuația de conversie cu ajutorul formulei „substituție trigonometrice universal“:
În tranziția de la ecuația (1) la (2), ar putea exista o pierdere de rădăcini, astfel încât este necesar să se verifice dacă rădăcinile rădăcinile acestei ecuații.
0 + 4 (-1) = 5 - nu este adevărat, deci, nu este o rădăcină a ecuației inițiale.
În continuare, vom ridica capitalul social înregistrat în piață și de a folosi formula „sumă pătrat“:
Divide prin cos x ≠ 0, obținem:
pentru că Atunci când, nu are rădăcini.
Pentru a rezolva ecuația: 2cos 2x - 4sin x + 1 = 0.
Noi folosim formula: și de a face schimbarea - rădăcină străine (consideră că).
După substituție inversă.
Se aplică o consecință a identității de bază și pentru a face schimbarea t = tg x:
Gasim selecție rădăcină și t = -1 factorize partea stângă a ecuației obținute: (t + 1) (4 t 2 - t + 5) = 0. Al doilea factor discriminant este negativ, prin urmare, altă ecuație nu are rădăcini. Contactați înlocuire:
Pentru că, o, ecuația poate fi scrisă ca :. Înainte de a ne este o ecuație omogenă așa-numita, pentru toți termenii din care partea stângă a sumei gradelor de 3x și cos sin 3x același.
Putem verifica dacă cos 3x ≠ 0 pentru rădăcinile acestei ecuații, astfel încât ambele părți pot fi împărțite în. Facem schimbarea: t = tg 3x. atunci. Contactați înlocuire:
Rezolva ecuația: 5sin 4x - 12cos 4x = 6,5.
Se împarte ambele părți cu 13:
Să atunci, și ecuația devine: sau în cazul în care
Pentru a rezolva ecuația: 4x sin + sin 3x + cos 6x + cos 7x = 0.
Transformarea într-o sumă produs de sinus și cosinus din suma:
Acum scrie pe partea stângă a ecuației în forma:
Această egalitate este posibil în două cazuri.
Se aplică formula de reducere:
Rezolva ecuația: | păcatul 12x | + | păcatul 18x | = 0.
Modulele suma poate fi zero numai dacă pentru aceeași valoare a lui x podmodulnyh două expresii sunt egale cu zero. În consecință, necesitatea de a găsi rădăcini comune de două ecuații:
Este esențial ca deciziile date diferiți parametri întregi. trebuie făcut pentru rădăcinile comune ale ecuației unde
Deoarece n - întreg, fracția este retractabil, iar acest lucru este posibil numai în cazul în care k este divizibil cu trei, adică. Apoi, soluția ecuației poate fi scrisă ca:
Găsim intervalul funcției este evident că investiga extremelor.
x = 0 - găsit un punct critic.
În stânga dreapta pe ea, atunci există un punct maxim. Deoarece este doar extremum, atunci funcția x = 0 ia valoarea maximă: f (0) = 5.
Noi rezolva ecuația trigonometrice simplu: Din studiile anterioare vedem că egalitatea este posibilă numai în condițiile în care
Într-adevăr, aceasta este singura soluție întreagă a acestei inegalități. atunci
Rezolva sistemul de ecuații:
Se aplică metoda de adăugare algebrice: trece la sistem, ecuațiile care reprezintă suma și diferența dintre ecuațiile originale.
Încă o dată, vom adăuga și scade ecuația rezultată:
Rezolvarea unui sistem de ecuații.
Folosind substituția a doua ecuație.
Se aplică formula de reducere:
Rezolva sistemul de ecuații:
Scăzând prima ecuație din a doua și a aplica formula
Cazul 1: cos 4y = 1, atunci rezultă din a doua ecuație, adică cos 4x = 0. Un sistem de două ecuații simple,
Rezolvarea sistemului de ecuații rezultat simplu, găsim rădăcinile unui al doilea grup:
Din nou, soluția fiecărei ecuații a sistemului conține parametrul său întreg (pentru a fi fiecare pereche de numere, dat derivarea formulelor în care putem defini n și k orice valoare întreagă, nu neapărat la fel).
Să ne rezolve mai întâi inegalitatea trigonometrice simplu în cazul în care
linia trigonometrice împarte cercul în două arce. Decizii inegalitățile corespund unui punct de pe partea de jos a arcului, care nu mai este ordonata. Prin urmare, în intervalul de până soluție are forma :.
Limitele următoarei perioade a deciziilor pot fi obținute de la acest lucru prin schimbarea fiecare frontieră pe 2πn:
Efectuarea schimbarea inversă, obținem dubla inegalitate pentru x:
Rezolva inegalitatea: | tg x | ≥ 1.
Cea mai mică perioadă pozitivă este egală cu π bronza, astfel încât este suficient să se găsească o soluție pentru gama de disparități, și apoi adăugate la πn limite. Deschiderea unității se va transforma într-o combinație inegalitățile de două inegalități.
Arcul circular corespunzător soluțiile lor au forma:
Vă rugăm să rețineți că termenii nu sunt incluse în decizia, deoarece la aceste valori ale tangenta argumentului nu există. Având în vedere frecvența, vom găsi decizia finală:
Reprezentăm cos 2x = 1 - 2sin 2 x și face substituția: t = sin x. Apoi, pentru T nevoie pentru a rezolva sistemul de inegalități:
Contact înlocuire conduce la ecuația sin x = -1, deci inegalitatea care soluția:
Noi folosim ca și de a face schimbarea: T = sin 2x. Inegalitatea pentru t are forma:
Metoda intervale găsește o soluție:
Ne frâneze bancă și să decidă inegalitatea trigonometrice derivate:
Răspunsul este unirea intervalelor obținute.