Ecuații și inegalități într-o singură variabilă

Ecuația cu o singură variabilă. Egalitatea, care cuprinde o variabilă numită o ecuație cu o singură variabilă sau o ecuație cu o singură necunoscută. De exemplu, o ecuație cu o singură variabilă este ecuația 3 (2x + 7) = 4-1.

Rădăcina sau soluția ecuației este valoarea variabilei pentru care ecuația devine adevărată egalitate numerică.

Rezolva ecuația - înseamnă a găsi toate rădăcinile sale sau pentru a dovedi că rădăcinile nu.

Ecuațiile se numesc echipotente dacă toate rădăcinile prima ecuație sunt rădăcinile a doua ecuație, și invers, toate rădăcinile a doua ecuație sunt rădăcinile prima ecuație sau, dacă ambele ecuații nu au rădăcini. De exemplu, ecuația x = 8 și 2 x 20 + 10 = echivalent, deoarece rădăcina prima ecuație x = 10 este rădăcina și a doua ecuație, ambele ecuații au una rădăcină.

Teorema privind echivalența ecuații. Primele trei Teoremele - „liniștite“, acestea garantează echivalența transformărilor, fără condiții suplimentare, utilizarea lor nu cauzează probleme decisiv.

Teorema 1. În cazul în care oricare membru al ecuației pentru a trece dintr-o parte a ecuației la celălalt cu semnul opus, obținem o ecuație, care este echivalentă cu acest lucru.

Teorema 2. Dacă ambele părți ale ridicat la același grad impar, obținem o ecuație, care este echivalentă cu aceasta.

TEOREMA 3. O ecuație exponențială

Următoarele trei Teoremele - „neliniștită“, care lucrează numai în anumite condiții și, prin urmare, poate oferi unele probleme în rezolvarea ecuațiilor.

Domeniul de definire a ecuației f (x) = g (x) sau un interval de valori admisibile (TCC) variabilă este setul de valori ale variabilei x, în care ambele au semnificația expresiilor f (x) și g (x).

Teorema 4. Dacă ambele părți ale ecuației f (x) = g (x) este multiplicat cu aceeași expresie h (x) este:

a) are un sens peste tot în domeniu (în intervalul de toleranță) de f (x) = g (x);

b) oriunde în această zonă nu devine 0 - obținem ecuația f (x) h (x) = g (x) h (x), care este echivalentă cu aceasta.

Un corolar al teoremei 4 este un alt „liniștit“ Declarație: în cazul în care ambele părți ale ecuației înmulțit sau împărțit la același număr de zero, veți obține o ecuație echivalentă cu acest lucru.

Teorema 5. Dacă ambele părți ale ecuației f (x) = g (x) sunt non-negativ în ecuația definire, după construirea ambelor părți într-unul și același chiar grad n este o ecuație care este echivalentă cu prezenta: f (x) n = g ( x) n.

Teorema 6. Dacă f (x)> 0, g (x)> 0, ecuația logaritmică

. este echivalentă cu ecuația f (x) = g (x).

inegalități liniare într-o singură variabilă. Dacă variabila x pentru a da orice valoare numerică, obținem inegalitatea numerică, exprimând fie o afirmație adevărată sau falsă. Să presupunem, de exemplu, având în vedere inegalitatea 5x-1> 3 + 2. Când x = 2 obținem 5 · 2.1> 3 · 2 + 2 - declarație adevărată (vorbire numerică corectă); când x = 0 obținem 5 · 0-1> 3 · 0 + 2 - o declarație falsă. Orice valoare a variabilei la care această variabilă inegalitate devine adevărată inegalitate numerică se numește o soluție de inegalitate. Rezolva variabila inegalitate - înseamnă a găsi setul tuturor deciziilor sale.

Două inegalități cu o singură variabilă x este declarat a fi echivalente dacă setul de soluții ale acestor inegalități coincid.

Ideea de bază a soluției de inegalitate este urmatoarea: înlocuim această inegalitate este o alta, mai simplă, dar echivalentă până în prezent; inegalitatea rezultată este din nou înlocuită cu inegalitatea echivalentă mai simplu pentru el, etc.

Astfel de substituții sunt făcute pe baza următoarelor afirmații.

Teorema 1. În cazul în care oricare membru al inegalității cu o singură variabilă pentru a trece dintr-o parte a celuilalt cu semnul opus, lăsând neschimbat semnul inegalității, obținem inegalitatea este echivalentă cu acest lucru.

Teorema 2. Dacă ambele părți ale unei variabile multiplicate sau împărțit același număr pozitiv, în timp ce lăsând neschimbat semnul inegalității, obținem o inegalitate echivalentă cu acest lucru.

Teorema 3. Dacă ambele părți ale inegalității cu o singură variabilă multiplicată sau împărțit același număr negativ, schimbarea semnului de inegalitate este inversată, obținem inegalitatea este echivalentă cu acest lucru.

Liniar inegalitate numit tip ax + b> 0 (respectiv, ax + b<0, ax+b³0, ax+b£0), где а и b – действительные числа, причем а¹0. Решение этих неравенств основано на трех теоремах равносильности изложенных выше.