ecuații pătratice și inegalitățile cu un parametru

O serie de „învățare pentru a rezolva problemele cu parametrul“

IV. ecuații pătratice și inegalitățile cu un parametru

IV.1. concepte de bază

Definiția. funcție de forma (1), în cazul în care - funcția de date a parametrului a. luate în considerare la intersecția domeniilor lor, va fi numit o funcție pătratică cu parametrul a.

În special, unele dintre coeficienții și termenul liber poate fi numere.

Definiția. Sub determinarea unei funcții pătratice (1) cu parametrul a va înțelege întregul set de perechi de valori ale lui x și de forma (x, a), din care fiecare își păstrează expresia sens.

Stabilirea funcțiilor de domeniu 1-10.

1. 2. 3. 4. 5.
6. 7. 8. 9. 10.

Dacă parametrul ia una dintre valorile numerice ale, funcția (1) ia forma uneia dintre funcțiile cu coeficienți numerici:

unde k. b. c - numerele reale.

Atragem atenția asupra faptului că, pentru anumite valori ale parametrului unei funcții pătratice cu un parametru ia forma unei funcții pătratice fără un parametru, sau - liniar.

Deoarece o funcție pătratică, cu un parametru de multe ori „genera“ o familie de funcții pătratice sau liniare, cu coeficienți numerici, vorbind despre diagramele funcționale pătratice cu parametrul. ne referim la un set de grafice ale acestei familii.

Definiția. ecuație pătratice cu un parametru și se numește o ecuație de forma (1) în cazul în care, - funcția de date a parametrului a. luate în considerare la intersecția domeniilor lor.

În special, unele dintre coeficienții și termenul liber poate fi numere.

Folosind definiția unei funcții pătratice cu un parametru, puteți da o definiție a unei ecuații pătratice cu un parametru.

Definiția. ecuație pătratice cu un parametru numit ecuația formei în care - funcția pătratică cu parametrul a.

Dacă ecuația (1) este pătrată în sensul tradițional, adică, gradul al doilea.
Dacă, totuși, ecuația (1) devine liniar.

Cu toate valorile posibile ale parametrului a. și în care, în formulele de cunoscute se obțin rădăcini de expresie a ecuației (1) prin intermediul parametrului.

Aceste valori și. în conformitate cu care ar trebui să fie luate în considerare separat, ca cazuri speciale.
De exemplu, ecuația (5) devine unde.

IV.2. ecuații pătratice cu un parametru

În sistemul de coordonate (AOX) completarea soluției. (Fig. 1)

Răspuns: 1. În cazul în care, atunci.

№2. Găsiți valoarea parametrului a. în care ecuația are o rădăcină unică. Dacă aceste valori sunt oarecum ca răspuns pentru a înregistra suma lor.

Această ecuație este redusă la un sistem echivalent:

Să-l dau la forma și de a rezolva grafic într-un sistem de coordonate (HOA). (Fig. 2).

Ecuația are o singură rădăcină cu, și.

Reformulati problema: „Gaseste toate valorile lui x, astfel că, pentru orice valoare a ecuației nu are rădăcini“
Ne exprimăm în termeni de x:

1) Să. Apoi. Prin urmare, ecuația are rădăcini. Deci, nu îndeplinește condiția.
2) Să. Apoi. Să folosim un sistem de coordonate (Hoa). (Fig. 3).

№4. Cât de multe rădăcini, în funcție de parametrul a are ecuația?

Într-un sistem de coordonate (xy) construi un grafic

și mai multe grinzi drepte de linii paralele definite de Eq. (Fig. 4).

Răspuns: 1. În cazul în care nu există nici o rădăcină.

2. În cazul în care există o rădăcină.

3. În cazul în care cele două rădăcini.

IV.3. inegalitate pătrat cu un parametru

Noi luăm în considerare faptul că. Apoi - decizia inegalitatea pentru orice b. (Fig. 5).

Dacă, atunci vom merge la inegalitatea, setul soluție care este descris într-un sistem de coordonate (caseta). (Fig. 6).

Compatibil Fig. 5 și 6.

Și acum, în conformitate cu fig. 7, liniile de tăiere sale verticale, este ușor pentru a obține un răspuns.

Răspuns: 1. În cazul în care, atunci.
2. În cazul în care, atunci.
3. În cazul în care, atunci

Să rezolve metoda grafică inegalitate într-un sistem de coordonate (Hob):

Luați în considerare două cazuri.

1). Apoi, inegalitatea devine, în cazul în care.
2) atunci.

Funcții Grafic și o parte a planului care conține punctele ale căror coordonate satisfac o inegalitate prezentată în Figura 8.

1. În cazul în care, atunci.
2. În cazul în care, atunci. 3. În cazul în care, atunci.

Soluție grafică Acum Privodem într-un sistem de coordonate (xy). Pentru a dezvălui acest modul:

, - rădăcini ale unui trinom pătratic.

Obținem populație. (Fig. 9)

2) în cazul în care. (Fig. 10).

3) în cazul în care. (Fig. 11).

Răspuns: 1. În cazul în care, atunci.

2. În cazul în care, atunci.
3. În cazul în care, atunci.

№6. Gaseste toate valorile unei. pentru care valoarea minimă a funcției este mai mare de 2.

Este suficient pentru a găsi toate valorile unei. pentru fiecare dintre ele pentru orice inegalitate. Rescrie inegalitatea ca.

Soluționați grafic într-un sistem de coordonate (xy).

Pentru aceasta considerăm funcția (1), (2).

Inegalitatea va organiza pentru toate, în cazul în care graficul funcției va fi deasupra graficului funcției.

Luați în considerare două cazuri: 1) linia dreaptă este tangentă la graficul funcției; 2) linia dreaptă este tangent în grafic.

1 ,,,, - ecuația tangentei. De unde. Apoi.

2. Graful trece prin punctul (1; 1): în cazul în care.

Satisface toate condițiile problemei.

Raspuns :.
№7. Rezolva setul de inegalități

Stabilirea primul domeniu de agregate:

Vom rezolva setul de grafic într-un sistem de coordonate (HOA). (Fig. 13).

Rescrie totalitatea

Introducem funcția. (0, 0), (6, 0) - punctul de intersecție cu axele de coordonate; (3, 9) - vârf al parabolei.

Noi găsim rădăcinile unui trinom pătratic :; .

Fig. culoare 13, o multitudine de soluții alocate în mod colectiv (întuneric sau lumină).

1. În cazul în care nu există nici o soluție.
2. În cazul în care, atunci.
3. În cazul în care, atunci.
4. În cazul în care, atunci.
5. În cazul în care, atunci.
6. În cazul în care, atunci.
7. În cazul în care, atunci.