ecuații Diofantine

ecuații Diofantine se numesc ecuații algebrice sau a unui sistem de ecuații algebrice cu coeficienți întregi, pentru care trebuie să le găsim întregi sau decizii raționale. În acest caz, numărul de necunoscute în ecuațiile trebuie să fie de cel puțin două (în cazul în care nu se limitează la numere întregi). ecuații Diofantine sunt, de obicei, o mulțime de decizii, astfel încât acestea sunt numite ecuații nedeterminate. Acest lucru, de exemplu, ecuația:

Acestea sunt numite după matematicianul grec Diophant, care a trăit în III. Cartea sa, „aritmetică“, conținea un număr mare de probleme interesante, ea a studiat matematica tuturor generațiilor. Cartea este păstrat în această zi, el poate fi găsit în traducere română în bibliotecă.

număr întreg și soluții raționale ale problemei de căutare este de obicei strâns legată. Este ușor să ne dăm seama ce conexiune există între soluțiile întregi ale ecuației și soluțiile raționale ale ecuației

Prin Diophantine ecuații conduce sarcini în sensul valorilor necunoscute pot fi numai numere întregi.

Soluția de ecuații în numere întregi - o provocare foarte interesanta. Din cele mai vechi timpuri, a acumulat o mulțime de moduri de a rezolva ecuații specifice Diofantine, dar numai în secolul nostru metodele generale de studiu lor. Cu toate acestea, ecuații liniare Diofantine și ecuația de gradul 2 Diophantine învățat să rezolve pentru o lungă perioadă de timp.

Deci, este ușor să dovedească faptul că formulele, (- orice număr întreg) sunt toate soluțiile integrale ale ecuației. Formulele pentru determinarea laturile integrale ale unui triunghi dreptunghic (adică, pentru a rezolva ecuația) au fost cunoscute de vechii indieni: ,, (și - numere întregi).

Soluțiile de ecuații Diofantine de grade mai mari, precum și sistemele de ecuații au fost date cu mare dificultate. faimoasa ecuație a lui Fermat, care este în urmă cu mai mult de trei sute de ani, el a scris pe marginea „aritmetică“ Diophant nu a decis până în prezent (a se vedea. mare teorema lui Fermat).

Chiar și cu ecuații Diofantine cedat la o soluție cu mare dificultate, iar răspunsurile pot fi destul de diferite. Deci, ecuația nu are soluții în numere întregi cu excepția punctului zero. Ecuația are un număr finit de soluții în numere întregi, care sunt ușor de găsit. Ecuația are infinit mai multe soluții integrale, cu toate acestea, a scrie o formulă nu este ușor pentru ei.

Cu toate acestea, sa constatat că ecuațiile cubice sunt într-un anumit sens în afară. În 20-e. secolul nostru matematicianul englez EI Mordell conjectured că ecuația de grad mai mare de 3, ar trebui să aibă, de regulă, un număr finit de soluții întregi. Această ipoteză a fost dovedită în 1983 de matematicianul olandez Faltings. Prin aceasta sa confirmat faptul că ecuația pentru fiecare fermă are doar un număr finit de soluții în numere întregi (fără factori comuni). Cu toate acestea, până în prezent nu există nici o modalitate de a găsi aceste soluții.

Pentru o lungă perioadă de timp, suntem în speranța de a găsi o cale comună de a rezolva orice ecuație Diophantine. Cu toate acestea, în 1970, matematicianul Leningrad V. Matiyasevich au dovedit că această metodă generală nu poate fi.

Soluția de ecuații în numere întregi - una dintre cele mai frumoase zone ale matematicii. Nici matematician important nu este trecut prin teoria ecuațiilor Diofantine. Fermat, Euler și Lagrange, Gauss și Dirichlet, Cebîșev și Riemann a lăsat o amprentă de neșters pe această teorie cea mai interesantă.