Ecuatii diferentiale liniare

§ 9. ecuații liniare diferențiale

cu coeficienți constanți

(9.1) se numește ecuație diferențială liniară de n - lea ordine cu coeficienți constanți; - numere reale constante. Dacă funcția) nu este identic la zero, atunci se spune uneori că ecuația cu partea dreapta.

(9.2) este o ecuație diferențială liniară omogenă de n - lea ordine cu coeficienți constanți; - numere reale constante. Deoarece. Funcția) este identic egal cu zero, se spune uneori că, fără partea dreaptă a ecuației.

Se numește ecuația caracteristică. și rădăcinile sale - valorile caracteristice ale ecuației (9.2).

Sistemul de funcții se numește liniar independent în intervalul. dacă identitatea (- constante)

poate fi efectuată numai atunci când toate. În cazul în care, în plus, fiecare dintre funcțiile este o soluție particulară a ecuației omogene (9.2), soluțiile de sistem ale ecuației omogene se numește sistem fundamental de soluții.

În cazul în care se găsește sistemul fundamental de soluții, atunci funcția

Acesta oferă soluția generală a ecuației omogene (9.2), (toate - constant).

1 ° ecuația .Odnorodnoe. Considerăm că trei cazuri.

(♠) Toate rădăcinile ecuației caracteristice sunt reale și distincte.

Sistemul fundamental de soluții are forma.

Funcția oferă o soluție generală a unei ecuații one omogen (9.2) (toate - constant).

Scriem ecuația caracteristică. Rădăcinile sale.

Rădăcinile ecuației caracteristice. Totalul re-shenie. Având în vedere că .. pentru a determina Kostant

avem două ecuații. Aceasta înseamnă - o anumită soluție satisface datele inițiale.

(♠♠) Toate rădăcinile ecuației caracteristice sunt diferite, dar unele dintre ele sunt

Fiecare rădăcină reală este în continuare soluții private adecvate. și fiecare pereche de rădăcini conjugate complexe corespund celor două soluții particulare liniar independente.

astfel făcând un sistem fundamental în acest caz,-imagine adăugată soluțiilor particulare liniar independente, care corespund ve rădăcini și soluții particulare sem liniar independente care corespund fiecărei perechi de rădăcini conjugate complexe.

Soluția totală oferă o combinație liniară a sistemului fundamental de soluții cu coeficienți constanți arbitrare.

Noi găsim rădăcinile ecuației caracteristice sau

. Un material de rădăcină și o pereche de rădăcini conjugate complexe (a = 0, b = 3, v. E. Rădăcini pur imaginare). sistem fundamental de soluții Nye. . Scrie soluția generală

sistem fundamental de soluții. .

Soluția generală. Pentru a determina constantele găsi.

Când. astfel Soluție special îndeplinește satisfăcătoare condițiile date inițiale, are următoarea formă:

(♠♠♠) are multiple rădăcini ale rădăcinilor caracteristice ecuație.

In acest caz, fiecare rădăcină reală a lui k multiplicitate corespunde k soluții particulare liniar independente ale formei

soluții în care, în formula generală este adusă contribuie la o combinație liniară

și fiecare pereche de rădăcini conjugate complexe de multiplicitate k k 2 corespund anumite soluții liniar independente ale formei

În formula generală vor fi introduse soluții contribuție ca o combinație liniară

astfel sistem fundamental de soluții în acest caz, imaginea-liniar sunt soluții independente particulare care îndeplinesc reale simple și multiple, rădăcini și soluții particulare liniar independente, care se potrivesc cu fiecare pereche de rădăcini conjugate simple și multiple complexe.

Soluția totală oferă o combinație liniară a sistemului fundamental de soluții cu coeficienți constanți arbitrare.

Rădăcinile ecuației caracteristice sunt multipli. rădăcină reală multiplicitate. Sistemul fundamental

Rădăcinile ecuației caracteristice sunt complexe și multiple ,. Pluralitatea perechi de rădăcini complex conjugat conjugat. (A = 0, b = 2, m. E. Rădăcini pur imaginare). Fundamentale sistem-ma-luare. .

Ecuația caracteristică are o rădăcină reală dublă și o pereche de rădăcini conjugate complexe. . sistem fundamental de soluții. .

Ecuația caracteristică are o rădăcină reală simplă și o dublă pereche de complex conjugat rădăcini TION. Rădăcinile sunt pur imaginare).

sistem fundamental de soluții. .

2 ° ecuația .Neodnorodnoe. Soluția generală a ecuației diferențiale neomogene cu coeficienți constanți

pot fi găsite în conformitate cu formula (formula este valabil și în cazul în care coeficienții cients nu sunt constante). în cazul în care - o soluție particulară a ecuației neomogene și

- soluția generală a ecuației omogene.

astfel pentru a găsi o soluție generală a ecuației neomogene. must

pentru a găsi o soluție generală a ecuației omogene și o anumită soluție

Prin urmare, apare problema găsirii unei soluții particulară a ecuației neomogene. Luați în considerare patru cazuri de rezolvare a problemei prin metoda coeficienților nedeterminat. în cazul în care partea dreaptă are o specială (standard) de tip.

Metoda constă în faptul că o anumită soluție în căutarea unei forme de pre-cunoscute cu coeficienți nedeterminat, beton valori din care sunt ecuații originale podstanovkoyv și coeficienții care egalează ai aceleași funcții ale părților stânga și dreapta.

(♠). unde - gradul polinomului (care este, în special, poate fi o constantă nu este egal cu zero).

În cazul în care numărul 0 nu este o rădăcină a ecuației caracteristice trebuie căutată în forma

în cazul în care - polinom de același grad cu coeficienți nedeterminate.

Dacă numărul 0 este o rădăcină a ecuației caracteristice multiplicitate. ar trebui căutate în formă

Rădăcinile ecuației caracteristice. Soluția generală a ecuației omogene. Numărul 0 nu este o rădăcină a ecuației caracteristice-agenția caută o soluție special sub formă. Acum, cor la rolă bază de rețetă ar trebui să fie înlocuit în ecuația originală, dar, în mod tipic la-Hered următoarea schemă.

(♠♠). unde - gradul polinomului (care este, în special, poate fi o constantă nu este egal cu zero); - un număr real.

În cazul în care numărul nu este o rădăcină multiplă, ar trebui să caute

în cazul în care - polinom de același grad cu coeficienți nedeterminate.

Dacă numărul este o rădăcină a ecuației caracteristice multiplicitate. ar trebui căutate în formă

B Numărul nu este o rădăcină a ecuației caracteristice,

. Soluția generală a ecuației omogene. B ACTH vom căuta o soluție în formă.

(♠♠♠). în care - polinoame (care, în particular, pot fi constante, iar unul dintre ele poate fi zero); - numere reale.

Să - gradul maxim de polinoame.

În cazul în care numărul nu este o rădăcină a ecuației caracteristice trebuie căutată în forma

în cazul în care - polinoame de grade, cu coeficienți nedeterminate.

Dacă numărul este o rădăcină de multiplicitate. ar trebui să caute vvide

Rădăcinile ecuației caracteristice. Soluția generală a ecuației omogene. pentru că ; numărul nu este o rădăcină a ecuației caracteristice. Cautam o solutie special sub forma.

Rădăcinile ecuației caracteristice.

3 °. Metoda de variație a constantelor arbitrare. Metoda este adecvată pentru o liniare ecuații (cu coeficienți constanți și arbitrare) în cazul în care sistemul cunoscut-distractiv pentru bază corespunzătoare ecuației omogene. O soluție generală poate fi găsită în acest caz, în partea dreaptă a unei forme arbitrare (opțional standard).

Metoda (metoda Lagrange) este că soluția totală este solicitată în forma

în care - în mod continuu funcția diferențiabilă x;

- sistem fundamental de soluții de omogene corespunzătoare

ecuație; - ecuația ordine.

Funcțiile sistemului sunt determinate de:

în care - partea dreaptă a ecuației dată.

Rădăcinile ecuației caracteristice. sistem fundamental de soluții :. Soluția generală este solicitată sub formă de:

în cazul în care - constanta de integrare. Rezoluție generală:

Rădăcinile ecuației caracteristice. sistem fundamental de soluții :. Soluția generală este solicitată sub formă de: