ecuații diferențiale exacte

Determinarea ecuației diferențiale exactă

Ecuația diferențială a formei \ [P \ left (\ dreapta) dx + Q \ stânga (\ dreapta) dy = 0 \] se numește ecuație diferențială completă. în cazul în care există o funcție de două variabile \ (u \ stânga (\ dreapta) \) cu derivate parțiale continue, care destul de expresie \ [du \ stânga (dreapta \) = P \ stânga (\ dreapta) dx + Q \ (\ dreapta .) dy \] soluţia generală a unui diferențial complet este determinată de formula \ [u \ left (\ dreapta) = C \] unde \ (C \) - o constantă arbitrară.

condiție necesară și suficientă

Lăsați funcția \ (P \ stânga (\ dreapta) \) și \ (Q \ stânga (\ dreapta) \) au instrumente derivate continue în unele regiuni \ (D. \) Differential ecuația \ (P \ left (\ dreapta) dx + Q \ stânga (\ dreapta) dy = 0 \) va fi ecuația diferențială totală dacă și numai dacă are loc egalitatea: \ [\ frac >> = \ frac >> \.]

Algoritmul pentru rezolvarea ecuațiilor diferențiale în total

În primul rând vom vedea că ecuația diferențială este diferențială exactă. folosind condiția necesară și suficientă. \ [\ Frac >> = \ frac >>. \]

Apoi vom scrie sistemul de două ecuații diferențiale care definesc funcția \ (u \ left (\ dreapta): \) \ [\ left \<\begin \frac>> = P \ stânga (\ dreapta) \\ \ frac >> = Q \ stânga (\ dreapta) \ end \ dreapta .. \]

Integrarea prima ecuație în variabila \ In locul unui \ constant (C \) scrie funcție necunoscută, care depinde de \ (x \.) (Y: \) \ [u \ stânga (\ dreapta) = \ int \ dreapta) dx> + \ varphi \ stânga (y \ dreapta). \]

Integrarea această expresie, vom găsi funcția \ (\), și, prin urmare, funcția \ (u \ left (\ dreapta): \) \ [u \ left (\ dreapta) = \ int \ dreapta) dx> + \ varphi \ stânga ( y \ dreapta). \]

Soluția generală a unui diferențial complet scris ca: \ [u \ stânga (\ dreapta) = C \]

Notă. În etapa \ (3 \), în loc de a integra prima ecuație în variabila \ (x \), putem integra a doua ecuație în variabila \ (y. \) După este necesară integrarea pentru a determina funcție necunoscută \ (. \)