Echivalent cu sistemul de ecuații

În acest articol vom vorbi despre sistemul de ecuații sunt echivalente. Aici vom da o definiție adecvată, precum și analiza ceea ce sunt de conversie și puteți trece de la sistemul original de ecuații să fie echivalente cu sistemul ei.

Navigare în pagină.

Determinarea unor sisteme echivalente de ecuații

În manuale [1, p. 199; 2, p. 74] oferă o definiție a sistemelor echivalente de ecuații cu două variabile:

Două sisteme de ecuații cu două variabile sunt numite echivalente. dacă au aceeași soluție, sau în cazul în care cele două sisteme nu au soluții.

În liceu, se poate generaliza la un sistem cu orice număr de ecuații și variabile [3, p. 265].

Două sisteme de ecuații sunt numite echivalente. dacă au aceeași soluție, sau în cazul în care cele două sisteme nu au soluții.

Exemplele neravnosilnyh și sisteme echivalente indicate în paragraful următor.

Are sistemul de ecuații date echivalente?

Pentru a trage o concluzie cu privire la echivalență sau a sistemelor de date neravnosilnosti de ecuațiile, este necesar să se cunoască în prealabil soluția acestor sisteme. Aici este un exemplu. Să presupunem că știm că sistemul de ecuații și nu au soluții (acest lucru este destul de evident: prima conține ecuația nu are soluții 0 · x = 4 iar al doilea - ecuația | x | = -1.). Și, prin definiție, un sistem de ecuații care nu au soluții sunt echivalente.

Pentru a dovedi sisteme neravnosilnost de ecuații, este suficient pentru a aduce o anumită soluție, care este soluția unui sistem, dar nu o soluție a celuilalt. De exemplu, este ușor să demonstreze că sistemul de ecuații și neravnosilny. Într-adevăr, o pereche de (0, 0) este soluția primului sistem, când aceste valori ale celor două variabile în ecuația transformării egalității numerice drept 0 = 0 și 0 = -0. dar nu și a doua soluție, deoarece a doua ecuație prin substituirea acestor valori oferă egalitate fals 0-0 = 2. Și, prin definiție, soluții de sisteme echivalente trebuie să fie aceleași.

Dar cum să dovedească echivalența sistemelor de ecuații, în cazul în care deciziile lor nu sunt cunoscute? Desigur, este posibil să se găsească soluții, și apoi face o concluzie în ceea ce privește echivalența pe baza determinării. Dar, uneori, rezolva în mod necesar sisteme, acest lucru se aplică în acele cazuri în care este evident că un sistem este obținut din celălalt prin intermediul unor așa-numitele transformări echivalente. Le vom studia în detaliu în secțiunea următoare, dar acum vom da un exemplu.

Luați în considerare două sisteme de ecuații și. O privire atentă la înregistrările lor pot fi observate următoarele lucruri: ecuația celui de al doilea sistem este rezultatul adăugării termenului de termen părțile respective ale primului sistem de ecuații și a doua ecuație de-al doilea sistem este primit de la a doua ecuație a primului sistem prin transferarea la o altă parte a termenului. Conversia descrisă sunt echivalente, iar rezultatul lor, un sistem, echivalent cu originalul. Astfel, aceste sisteme sunt echivalente. Și ne întoarcem la o analiză a transformărilor echivalente de bază.

Sisteme de conversie echivalente de ecuații

Există o serie de transformări care permit transformarea sistemului de ecuații este echivalent cu acesta în sistem. Acestea se numesc transformări echivalente, și-a găsit aplicații majore în sistemele de ecuații de rezolvare. Aceste transformări pot presupune proprietăți de ecuații. Luați în considerare și să justifice cele mai importante.

Schimbul sistemului de ecuații conferă sistemului echivalent de ecuații.

Dovada este evidentă. Prin definirea soluției ecuațiilor orice soluție unică a sistemului este o soluție din fiecare ecuație a sistemului. Este clar că aceasta este decizia fiecărui sistem de ecuații cu aceleași ecuații, dar au schimbat locurile, atunci, este soluția, și locurile interschimbați cu ecuațiile de sistem.

De exemplu, și - echivalent cu sistemul.

Dacă orice ecuație din sistemul înlocuit cu ecuația echivalentă. sistemul rezultat este echivalent cu originalul.

Dovada acestui fapt, de asemenea, se află la suprafață. Orice decizie prin sistemul de ecuații este o soluție din fiecare ecuație a sistemului. Știm, de asemenea, ceea ce este echivalent cu ecuațiile au aceleași soluții. Prin urmare, orice soluție a sistemului original de ecuații este o soluție a unui sistem de ecuații, în care unele ecuație se înlocuiește cu ecuația echivalentă cu aceasta, și, prin urmare, soluția acestui sistem.

Importanța proprietăți dovedite este enorm: ea ne dă dreptul de a lucra cu un sistem separat de ecuații. Cu ei, putem efectua tot felul de familiare, sunt echivalente de conversie, de exemplu, inversarea termenilor, condițiilor de transfer dintr-o parte în alta cu semnul opus, se multiplica sau împărți ambele părți ale ecuației printr-un număr nenul, etc.

Aici este un exemplu. Având în vedere un sistem. În prima ecuație se poate efectua o multiplicare a numerelor, adică, pentru a înlocui echivalentul său cu ecuația 12 · x-y = 1. Și în a doua ecuație, puteți colecta toți termenii de pe partea stângă pentru a deschide paranteze. atunci cauza termeni similari. Rezultatul va fi echivalentă cu sistemul de formă mai simplă.

În cazul în care părțile din stânga și din dreapta ale unui sistem de ecuații pentru a adăuga stânga și la dreapta, respectiv a celorlalte ecuatii ale sistemului, sistemul rezultat va fi echivalentă cu originalul.

Pentru a demonstra acest lucru ne arată că orice soluție a sistemului original de ecuații este o soluție obținută, și invers, că orice soluție a sistemului rezultat este o soluție cu originalul. Acest lucru va însemna echivalența sistemelor.

Orice soluție a sistemului inițial este o soluție pentru fiecare din ecuație sale, atrage toate ecuațiile în egalitatea numerică corectă. Știm ecuațiile numerice de proprietate. care prevede că termenul prin adăugare termen de ecuații numerice reale obținute adevărata egalitate. Aceasta implică faptul că decizia luată sistemul inițial de contact este o soluție obținută prin adăugarea la aceasta termwise altă ecuație. Prin urmare, această soluție este o soluție, iar sistemul de ecuații rezultat, deoarece este o soluție din fiecare ecuație.

Acum înapoi. Ia orice sistem de decizie care rezultă, este o soluție din fiecare din ecuația sale, adică, le atrage în egalitatea numerică corectă. Există o proprietate care vă permite să efectuați prin scăderea adevărate ecuații numerice. Scăzând ecuația corespunzătoare ecuației obținute ca rezultat al adăugării de termen de termen, plus sootetstvuyuschee ecuație egal, mai devreme. Aceasta va da egalitatea numerică corectă, corespunzătoare sistemului inițial de ecuații pentru adăugarea la acesta a unei alte ecuații. Rezultă că decizia va fi luată de fiecare soluție a ecuației sistemului original și, prin urmare, soluția.

Aici este un exemplu al acestei implementări este echivalentă de conversie. Să luăm un sistem de două ecuații cu două variabile. Adăugarea la laturile din stânga și dreapta ale primei ecuații din stânga și din dreapta, respectiv, al doilea, obținem o ecuație cu o singură variabilă 3 · y = 3. iar sistemul devine. Sistemul de ecuații are o formă simplă, dar este echivalent cu originalul.

Este clar că, în cazul în care sistemul conține trei sau mai multe ecuații, nu putem fi limitată de termen, prin adăugarea la stânga și partea dreaptă a dreapta ecuației selectate și stângă a unei ecuații, și se adaugă partea stângă și dreaptă a celor două, trei, dar cel puțin restul sistemului de ecuații. Ca urmare a acestor acțiuni vor primi în continuare un sistem echivalent de ecuații.

On dovedi conversie echivalență se bazează una dintre metodele pentru sistemele de ecuații de rezolvare - metoda adăugării algebrice.

Dacă una dintre ecuațiile este o variabilă exprimată în termeni de alte variabile, în orice altă ecuație sistem poate înlocui variabila sistemului său de expresie rezultată din această transformare este echivalentă cu originalul.

Aici este un exemplu pentru a explica. Ia sistemul. In prima variabila x este exprimată prin ecuația y. Fii prima ecuație a sistemului neschimbat, un al doilea substitut pentru x expresia în ceea ce privește y. adică 2 · y-1. Ca rezultat, vom ajunge la un sistem care este echivalent cu originalul. Să-l dovedesc.

Lăsați perechea (x0 y0.) - sistemul original, apoi x0 = 2 · y0 -1 și x0 + 3 · y0 -1 = 0 - egalitatea numerică corectă. Să dovedesc că, în acest caz, ecuația (2 · -1 y0) + 3 · y0 -1 = 0 este de asemenea adevărat, care se va dovedi că (x0. Y0) este o soluție obținută după conversie, și va însemna că sistemul rezultat Ea are aceleași soluții ca și originalul.

Este ușor de spectacol care a furnizat x0 = 2 · y0 -1 expresie valori x0 + 3 · y0 -1 și (2 · -1 y0) + 3 · y0 -1 egal. Pentru această compoziție, diferența dintre ele și arată că acesta este egal cu zero: x0 + 3 · y0 -1 - ((2 · y0 -1) + 3 · y0 -1) = (x0 - (2 · y0 -1)) + ( 3 · y0 -1- (3 · y0 -1)) = x0 - (2 · y0 -1). iar expresia rezultată egală cu zero, deoarece egalitatea x0 = 2 · y0 -1. Astfel, x0 egalitatea + 3 · y0 -1 = (2 · -1 y0) + 3 · y0 -1. dar x0 echitabil și a egalității + 3 · y0 -1 = 0. si sunt proprietatea tranzitivității implică validitatea (2 · -1 y0) + 3 · y0 -1 = 0.

În mod similar, putem dovedi că orice soluție a sistemului de ecuații este o soluție a sistemului original. Ca urmare, se poate concluziona că sistemele sunt echivalente.

Esența probelor considerate afirmații în termeni generali la fel. Adică, se arată că orice soluție la sistemul original este o soluție obținută după conversie, și vice-versa.

Acest lucru este echivalent cu conversie dă permisiunea pentru sisteme de ecuații de rezolvare prin substituție.

În concluzie, este de obicei pentru sisteme de ecuații în valoare dezasamblat pentru a converti utilizate împreună și, uneori, de mai multe ori de rezolvare. Mai mult, în practică, veți vedea.