Dimensiunea și baza spațiului vectorial - studopediya

În caz contrar, vectori se numesc liniar independente.

Din definițiile de mai sus rezultă că vectorii sunt liniar independente în cazul în care are loc egalitatea numai atunci când. și sunt dependente liniar dacă această egalitate este îndeplinită atunci când cel puțin unul dintre numere este diferit de zero.

Putem arăta că, dacă vectorii sunt liniar dependente, atunci cel puțin o combinație liniară a celorlalte. Reciproca este adevărat că, dacă unul dintre vectorii este exprimată liniar în ceea ce privește cealaltă, atunci toți acești vectori sunt împreună liniar dependente. În caz contrar, vectori se numesc liniar independente.

Din definițiile de mai sus rezultă că vectorii sunt liniar independent dacă ecuația (8.2) este valabilă numai în cazul în care. și sunt dependente liniar dacă această egalitate este îndeplinită atunci când cel puțin unul dintre numere este diferit de zero.

Un exemplu de vectori liniar independenți sunt două non-coliniare, adică nu paralelă cu o linie dreaptă, iar vectorul în plan. Într-adevăr, condiția (8.2) vor fi îndeplinite numai atunci când. Căci dacă, de exemplu. și vectorii și sunt coliniari. Cu toate acestea, orice plan al celor trei vectori sunt liniar dependente.

Remarcăm unele proprietăți ale spațiului vectorial liniar.

I. Dacă între vectorii are vectorul zero, atunci acești vectori sunt liniar dependente.

II. Dacă o parte din vectorii sunt liniar dependenți, atunci toți acești vectori - dependent liniar.

Opredelenie.Lineynoe spațiu tridimensional este numit, în cazul în care există vectori liniar independenți și oricare dintre vectorii sunt deja dependente. Cu alte cuvinte, dimensiunea spațiului - numărul maxim conținute în acesta vectori liniar independenți. Numărul se numește dimensiunea spațiului și este notată cu.

Definiția. Set de vectori liniar independenți în spațiul n-dimensional se numește o bază.

Următoarea teoremă deține.

Teorema.Kazhdy spațiu vectorial liniar poate fi reprezentat într-un mod unic ca o combinație liniară de vectori de bază:

Această ecuație se numește un vector de descompunere în bază. iar numerele - coordonatele unui vector în raport cu această bază. Prin unicitatea descompunerii fiecărui vector pot fi coordonate în mod unic determinat într-un anumit mod.

Este evident că vectorul zero, dotat cu toate tipurile de zero coordonate, și vectorul opus acestui - opus ca semn coordonatele.

Teorema.Esli - un sistem de vectori liniar independenți în orice vector exprimat liniar prin. spațiul este spațiu n-dimensional. și vectorii - l bază.

Baza spațiului vectorial este un sistem independent de liniar independente vectori ai acestui spațiu, a cărei valoare este egală. și anume selecție sistem de bază vectori ai unui spațiu vectorial este ambiguu, și poate fi realizată în mai multe moduri.

Ne intalnim adesea cu schimbarea variabilelor, în care variabilele vechi sunt exprimate liniar prin noi, de exemplu, atunci când se deplasează de la o bază la un alt spațiu. Această schimbare de variabile este de obicei numit transformarea lor liniară.

Transformarea liniară a variabilelor este un sistem de expresie variabile printr-un nou sistem de variabile prin funcții omogene liniare:

Transformarea liniară este complet determinată de mărimea mesei. formată din coeficienții pentru. Acest tabel este alcătuit din elemente numite matrice. și conversia în sine este un exemplu al unei operațiuni de matrice. Conceptul de matrice necesită o examinare mai detaliată, care se va face în secțiunea următoare.

întrebări de control la curs №8

1. Conceptul de spațiu euclidian.

2. dependență liniară și independență liniară a vectorilor.

3. Conceptele de dimensiune și baza spațiului liniar.

4. vectori de transformare liniare.