Determinantul unei matrice pătrată

Acasă | Despre noi | feedback-ul

Definiția 2.1. Substitutiv (permutare) a setului format din primele numere naturale este o mapare unu-la-unu de pe sine. Numărul în acest caz se numește procedura de substituție.

Substituții vor fi scrise sub forma unui tabel format din două coloane și rânduri, după cum urmează:

Exemplu. Exemple de permutări de ordine sunt permutări:

Exemplu. Substituții al treilea ordin sunt următoarele substituții:

Definiția 2.2. Permutare fiecărui element din care reprezintă pentru el însuși, numit permutarea identitate:

Definiția 2.3. Produsului (compoziție) substituții

acest set este numit o permutare a setului care constă în executarea secvențială a acestor substituții:

Exemplu. Găsiți lucrări ale următoarelor permutări ale treilea ordin:

1.16 Noi folosim definiția și să scrie:

Notă. După cum se poate observa din exemplul de mai sus, produsul este substituții necomutative.

Definiția 2.4. Să o permutare a numerelor sunt elementele de perechi de numere numit inversiune, dar dacă

Exemplu. Se calculează numărul de inversiuni de ordinul a șaptea de substituție

Pentru a rezolva această problemă folosim definiția 2.4 și a contoriza numărul de perechi. pentru care

Astfel, această substituție are 6 inversiuni.

Definiția 2.5. matrice Opredelitelemkvadratnoy este un număr egal cu suma algebrică a termenilor, fiecare dintre care este un produs al elementelor matricei, luate unul câte unul și numai unul din fiecare rând și fiecare coloană a matricei. Fiecare compoziție incluse în suma cu un semn în care numărul de inversiuni formate elemente doilea indice ale produsului, cu condiția ca primele coduri sunt aranjate în ordine crescătoare. Denotă determinantul matricei următoarele caractere:

Pentru a calcula determinantul unei matrice pătratică, determinată folosind diviziunea-2.5, este necesar:

1) a crea toate produsele posibile ale elementelor matricei, cu take doar un element din fiecare rând și fiecare coloană;

2) pentru a determina semnul fiecărui produs, prin numărarea numărului inversiunilor formate elemente doilea indice ale produsului, cu condiția ca primele coduri sunt aranjate în ordine crescătoare.

3) calculează suma tuturor pieselor găsite.

Există reguli simple pentru calcularea factorilor determinanți ai matricelor pătrate de a doua și a treia comenzi.

Determinantul matricei pătrat de ordinul calculat prin formula:

Determinantul matricei pătrate a treia comandă calculată cu formula:

Formula de calcul a determinantului matricei de ordinul trei este convenabil să memoreze următoarea mnemonic, care poate fi reprezentată schematic după cum urmează (Fig. 1). SHAPE \ * MERGEFORMAT

În conformitate cu acest sistem, numit triunghiuri regulă, pentru a calcula determinant al elementelor de matrice a trei piese ar trebui să fie luate cu „+“ și trei piese - cu Zac „-“.

Prin calcularea formulei determinantului al doilea ordin de scriere matrice pătrată:

Noi folosim formula a spus:

Teorema 2.2. Determinantul matricei pătrat are următoarele caracteristici principale:

1. nu schimbă determinant în transpunerea matricei.

2. În plus față de orice șir (orice coloană) matrice înmulțit cu orice număr real, cealaltă linie (cu o coloană diferită) a determinantului matricei a matricei nu se schimbă.

3. Determinantul matricei, toate elementele rând (ale unei coloane) care sunt la zero, zero.

4. Determinantul unei matrice având două rânduri identice (două coloane identice), este zero.

5. Determinantul unei matrice având rânduri (coloane), care sunt proporționale cu elementele corespunzătoare, egale cu zero.

6. locații La înlocuirea a două rânduri (coloane) ale modificărilor determinante matrice semn.

7. Când adăugarea unui rând (coloană) matricea celuilalt rând (coloana) înmulțit cu un număr real k. altele decât zero, valoarea determinantul său se schimbă în k ori.

Notă. Astfel cum rezultă din Teorema 2.2, unele matrice elementar schimba determinant valoarea sa.

Definiția 2.6. Determinantul matricei obținută din matricea cu anulare th rând și prima coloană, numită un element minor și este notat

Definiția 2.7. Cofactor elementului matricei este un număr egal cu produsul acestui element minor în

In particular, elementul de matrice complement algebric se numește minor său, luat cu semnul său, în cazul în care suma numerelor de coloane și rânduri, în care există un element, există un număr chiar și cu semnul opus, în cazul în care acest număr este impar.

Exemplu. Se calculează minori și cofactori elemente de matrice

Pentru a rezolva problema folosim definițiile 2.6 și 2.7.

Teorema 2.3 (pe extinderea unui determinant de-a lungul unui rând sau coloană). Determinantul unei matrice pătratică este suma produselor de elemente ale unui rând (coloană) matrice în cofactori lor:

Pentru a calcula determinantul de utilizare Teorema 2.3 și vom extinde determinantul de elementele prima linie:

Din moment ce vom calcula cofactori