Determinanii matrici de ordine 2 și 3
Pentru o matrice pătratică introduce un nou concept - determinantul matricei. Determinantul unei matrice pătrată va fi notată cu det A și definiți prin inducție.
Determinantul matricei de ordinul 2
este un număr calculat prin următoarea regulă: det A = a11a22-a12a21
Diagonal matrice pătrată, care trece de la intrarea superioară masă stânga la dreapta jos, numit principal diagonala matricei. Mărimea, care se extinde de la membrul superior drept la partea din stânga jos, numită matrice diagonală secundară.
Astfel, pentru a calcula determinantul matricei de ordinul 2 din necesitatea de a lucra elemente care sunt pe diagonala principala, scade elementele de produs care sunt pe diagonala secundara.
Pentru determinant al caracterului este introdus
După cum se vede din (1), determinantul matricei de ordinul 2 este suma algebrică a doi termeni. Fiecare dintre componente este realizarea a două elemente, decât acesta include un element al primului rând și un element doilea rând, un element din prima coloană și un element al 2-lea coloană a unei matrice dată. Cu un „+“ ia produsul de elemente ale diagonalei principale și „-“ - produsul a elementelor diagonale secundare.
Determinantul matricei de ordinul trei sau al treilea ordin, este numărul care se calculează cu formula:
Acest număr reprezintă suma algebrică a celor șase termeni. In fiecare termen include exact un element din fiecare rând și fiecare coloană a matricei. Fiecare termen include produsul a trei factori.
Semnele determinantul cu care membrii sunt în găsirea unei formule de determinant al treilea ordin poate fi determinată folosind schema de mai sus, care se numește o regulă sau exclude triunghiuri Sarrusa. Primele trei termeni sunt luate cu semnul plus și sunt determinate de desenul din stânga, iar în următorii trei termeni sunt luate cu semnul minus, și se determină din figura din dreapta.
64. * Minori și cofactori. Teorema pe extinderea unui determinant de-a lungul unui rând sau coloană. bucată Determinant.
Minoromelementa matrice de ordinul n se numește determinantul (n-1), pentru a -lea matricei A obținut prin ștergerea rândului i-lea și jth coloanei.
Când descărcarea determinantului de (n-1) comanda -lea, determinant original al elementelor de linie de transport nu sunt luate în considerare.
Cofactor Aij elementul Aij al matricei de ordinul n este numit minor sa luat cu semn în funcție de numărul de numerele rândurilor și coloanelor:
adică cofactor coincid cu minorul, în cazul în care cantitatea de numere de linie și coloană - un număr par, și este diferit de semnul minor atunci când suma rândului și coloanei - un număr impar.
Teorema privind extinderea determinantul elementelor rând. Determinantul matricei A este egal cu suma produselor elementelor rând de pe cofactori lor:
.
Teorema pe extinderea determinantul elementelor coloanei. Determinantul matricei A este egal cu suma produselor elementelor de coloană pe cofactori lor:
.
Teoreme privind extinderea unui factor determinant sunt importante în studiile teoretice. Ele stabilesc că problema calculului determinantului de ordinul n-lea se reduce la problema calculului determinanților n (n-1) ordine -lea.
Determinant unui produs de matrici este produsul dintre multiplicatori pătrate determinanții, adică.
În cazul în care toate elementele sunt zero o linie (coloana) matrice cu excepția, poate, un element, atunci determinantul matricei este egal cu produsul acelui element la cofactor sale
65. * Minorii și cofactori. Formula matricei inverse. regula lui Cramer pentru sisteme de ecuații liniare de rezolvare.
Minorii și cofactori. Fie F - câmpul scalar și A = || # 945; ik || ∈F MXN;
Definiția. submatrice Determinantul ordin k a matricei A este numit un minor k matrice ordine A. Minor de prim ordin matricea A sunt elementele sale.
Definiția. Determinantul matricei obținută dintr-o matrice pătratică A ștergând coloana rând și k-lea este numit elementul minor # 945; ik, notată cu Mik. Produsul de (-1) i + k Mik numit element de plus algebrică # 945; ik și notat cu Aik.
Inversa Matricea - o matrice A -1. care atunci când este multiplicată cu originale rezultatele matricei A într-o unitate de matrice E.
regula lui Cramer pentru sisteme de ecuații liniare de rezolvare. Considerăm un sistem de n ecuații liniare cu n variabile:
peste câmpul F. Fie o matrice de bază a sistemului: A = || # 945; ik ||.
Dacă | A | 0, atunci sistemul de ecuații liniare (1) are o soluție unică dată de formula:
66. * Proprietățile determinanților.
Proprietățile de bază ale determinanților:
Proprietatea 1. Determinantul unei matrice pătratică A și matricea transpusa t A egal.
Proprietate 2. În schimbul de două coloane (rânduri) ale determinantul matricei schimbă semnul.
Proprietatea 3. Determinantul având două din aceeași coloană (rând) este zero.
Proprietatea 4. Dacă toate elementele oricărui rând (coloană) a matricei A este înmulțită cu un scalar # 955;. este un scalar # 955; determinant multiplicată a matricei A.
Proprietatea 5. Dacă fiecare element rând i-lea (coloana) a unui pătrat matrice A m este suma termenilor, determinantul matricei A este egal cu suma de m determinanților și în matricea primului identificator în linia i-lea (coloana i-lea) sunt primele summands a doua matrice - al doilea, etc. liniile rămase sunt aceleași ca și în matricea A.
6. În cazul în care proprietatea oricărei coloane (rând) determinantului matricei se adaugă o altă coloană (rândul) al matricei înmulțit cu un scalar arbitrar, atunci determinantul nu se schimbă.
Proprietatea 7. Dacă orice coloană (linie) dintr-o matrice pătrată este o combinație liniară a celorlalte coloane (rânduri) ale matricei, atunci determinantul este zero.