Declarația problemei de interpolare
este utilizat în general pentru calcularea aproximativă a valorilor funcției | (x) pentru valori ale argumentului x, altele decât nodurile de interpolare. Aceasta se numește funcții de interpolare.
Există două tipuri de interpolare:
- globalnaya- compus toate punctele | (x) este o singură interpolare polinomiale;
- segmente lokalnaya- linie care leagă punctele (la două puncte), segmente ale unei parabole (trei puncte).
Interpolarea interpolant polinomului corespunzător numit, în care funcțiile sistemului # 966; k (x), polinomul este ales.
Existența și Unicitatea polinomului de interpolare garantat în cazul în care toate punctele de interpolare XK sunt diferite. În mod inutil determinant al sistemului de ecuații algebrice liniare pentru coeficienții ak este determinant Vandermonde, care este
și, prin urmare, diferită de zero, în cazul în care toate nodurile XK sunt matrice distincte și non-singular al sistemului, există soluția sistemului și este unic.
Sarcina funcției de interpolare, polinoame de interpolare:
Lăsați intervalul [a, b] funcție definită ƒ (x). Sarcina de interpolare (sau interpolare) este de a construi funcția g (x). coincide cu o predeterminată ƒ (x) într-un set de puncte x1, x2. xn + 1> în intervalul [a, b] (aceste puncte sunt numite noduri de interpolare), adică trebuie să fie îndeplinite condiții:
unde Yak - valorile cunoscute ale funcției ƒ (x) la punctele xk. g funcție (x) se numește funcția interpolant ƒ (x).
Construcția polinomului de interpolare:
Pentru construcția necesară pentru a găsi factori.
Pentru a găsi coeficienții necesare pentru a construi un sistem de ecuații liniare care pot fi obținute pe baza faptului că polinomul trece prin punctul nodal.
Ca urmare, avem sistemul:
Ordinea sistemului este. Opțiuni. cunoscute și specificate în funcția de tabelă. Necunoscute ale sistemului sunt coeficienții.
Interpolarea polinomială pe formula lui Lagrange este:
Polinomul este o interpolare polinomială, t. E. La punctele nodale le primește valorile din tabele.
Să ne întoarcem cu formula Lagrange:
. în cazul în care. (Algoritmul metoda Lagrange nu prevede obținerea polinomial în mod explicit și direct găsi o valoare în puncte intermediare.)
Construcția polinomului de interpolare prin metoda lui Newton
. Lagrange polinomul este gradul n-lea polinomiale, care trece prin toate punctele. În cazul în care punctele nu formează întoarce, atunci un polinom există și este unic. Sub randamentul este o situație în care există două puncte și astfel încât.
construirea unui algoritm polinomial:
1.Polinom construită ca o sumă de polinoame de gradul n-lea:
2. Fiecare dintre polinoame. incluse în sumă, după cum urmează. 3.Kornyami polinomul sunt toate puncte, cu excepția punctului. 4.Edinstvennost asigurat de faptul că un coeficient de conducere este selectat, astfel încât un polinom care trece prin punctul. Lagrange intrări polinoame este după cum urmează:
interpolare liniară este faptul că punctele de reglare (i = 0. 1. n) sunt conectate prin segmente de linie dreaptă, iar funcția f (x) se apropie de poligon cu vârfuri la aceste puncte.
Ecuația fiecărui segment înclinat în general diferite. Deoarece există n intervale. pentru fiecare dintre ele ca o ecuație ecuația de interpolare polinomială utilizată a liniei care trece prin cele două puncte. În special, pentru intervalul i-lea se poate scrie ecuația liniei ce trece prin punctele și. sub forma
Prin urmare, atunci când se utilizează interpolarea liniară este mai întâi necesar să se determine intervalul în care valoarea argumentului x. și apoi înlocuind în ecuația (1) și pentru a găsi valoarea aproximativă a funcției în acel punct.
interpolare pătratică. Ca o funcție de interpolare pe intervalul luat trinomul pătrat. Aceasta este, de asemenea, numit o interpolare parabolică.
ecuație polinomială pătratică
conține trei coeficienți necunoscuți ai. bi. CI. pentru a determina care sunt necesare trei ecuații. Aceste condiții sunt trecere parabolică (2) prin cele trei puncte. Aceste condiții pot fi scrise ca
La calcularea unei valori aproximative a unei funcții prin interpolare pătratică în loc de formula (1) necesitatea de a utiliza (2) cu soluția unui sistem de ecuații liniare (3). Interpolarea pentru orice punct efectuat pe cele trei cel mai apropiat de colegii ei.
Exemplu. Găsiți valoarea aproximativă a funcției y = f (x) la x = 0,32, dacă știm valorile sale în tabelul de mai jos: