De stat și să dovedească legea fundamentală a aritmeticii numerelor naturale
Legea fundamentală a aritmeticii numerelor naturale este împărțit în două părți și este formulat astfel:
Partea 1. Orice număr natural diferit de 1, poate fi reprezentat ca un produs de numere prime.
Partea 2. Și acest număr va fi întotdeauna descompuse în același set de numere prime; numai ordinul poate varia.
Un număr prim este un număr întreg care are doar două divizor - în sine și 1. Numărul de compus este un număr întreg pozitiv, având mai mult de doi divizor.
Numărul 1 nu este nici simplu, nici compus.
Formularea primei părți a legii de bază a aritmetica numerelor naturale se spune că legea se aplică tuturor numerelor naturale (cu excepția celor 1). Acest lucru înseamnă că se aplică numere prime. Chiar dacă un număr prim, acesta va fi oricum reprezentat ca un singur prim (în sine). Pe de altă parte, nu există nici o lucrare. S-ar putea spune „ca produs de 1 și de sine“, dar unitatea nu este un număr prim, care încalcă, de asemenea, definiția.
Demonstrăm prima parte a legii, în raport cu numărul compozit. Dovada este prin „inversă“: de exemplu, că există numere compuse care nu pot fi descompuse într-un produs de numere prime, adică un număr de factori, există alte componente ale ...
Orice număr compozit are altele decât în sine și unul cu cel puțin două divizori. Într-adevăr, lăsați un număr compozit de o serie de factori cum ar fi numărul primei n. împărțitor sale, altele decât 1 și n sine. ambele m. și cum să obțineți q privat. Apoi n = mq. T. e. M și q divizori din numărul n. Și nici m. sau q nu este egal cu numărul n și 1. Dar de această dată separatoare, acestea sunt mai mici decât numărul n.
Să-un număr m a fost cel mai mic număr compozit, care intră în rândurile de descompunerea altor numere compozite. Acest număr poate fi extins doar la simplu, t. Pentru a. Numerele compuse mai puțin decât nu există. Rezultă că un număr compozit este întotdeauna descompus într-un set de numere simple.
Demonstrăm acum a doua parte a legii de bază a aritmetica numerelor naturale: numărul de diferite de descompunere a compusului în factori simpli pot diferi numai prin ordinea factorilor, dar nu cantitatea și compoziția lor.
Să presupunem că există o. care poate fi reprezentat ca un set diferit de factori prime: a = p1 p2 × × ... × pm și = q1 × q2 × ... × qn. Ca împărțit la p1. al doilea set de factori trebuie să fie exact același număr (spun q2). Obținem o ÷ p1 = p2 × ... × pm și q2 ÷ = q1 × ... × qn. În mod similar, am tăiat toți aceiași factori.
În cazul în care un număr ar putea fi reprezentat ca un set diferit de factori prime, rezultatul unei astfel de reducere ar obține un număr b (din rândul a) într-un caz de multiplicatorilor rămase reprezentate de p. iar al doilea - al q rămase. Din moment ce am redus tot ceea ce este posibil, atunci factorii rămase ale diferitelor seturi nu sunt egale. Și amorsează. Dar multiplicarea unor numere prime nu poate da același rezultat ca și în multiplicarea altor numere prime. Acest lucru rezultă din caracteristicile de numere simple și relativ prime. [Nu este evident]