Criteriul unui sistem de ecuații liniare
Criteriul unui sistem de ecuații liniare dă Kronecker-Capelli.
Leopold Kronecker (1823 - 1891 gg.) # 9472; matematician german. Teorema, care vor fi discutate, astfel cum sunt cuprinse în cursurile sale livrate la Universitatea din Berlin, în 1883 - 1891 de ani.
Alfred Capel (1858 - 1916) # 9472; matematician italian. El, se pare, a dat prima declarație a teoremei cu utilizarea termenului „gradul de“ activitatea sa în 1892.
Pentru a se asigura că sistemul de ecuații liniare a fost consecvent, este necesar și suficient ca gradul de sistem a fost egal cu rangul matricei augmented.
Exemplu. Investigarea sistemului pe un partajat
Decizie. Aducerea matricea sistemului și matricea augmented formei esalon vor fi efectuate simultan.
matrici de sistem Rank este 2, iar rangul matricei sistemului 3. extins Prin sistem Teorema Kronecker-Capelli este incompatibil.
Metoda Gauss pentru sisteme de ecuații liniare de rezolvare.
Metoda Gauss este aplicată unui sistem arbitrar de ecuații liniare. avem nevoie
Definiția. Sistemul de ecuații liniare va fi numit un pas. dacă matricea vitezei sistemului.
Atunci când rezolvarea unui sistem de ecuații liniare folosim următorul algoritm:
1. Scrieți matricea augmented a sistemului (1) și dă eșalonul de formă,
determinat de rangul matricei și matricea extinsă a sistemului.
2. În cazul în care rezultatele nu sunt rang egal, atunci sistemul este incompatibil.
3. Locul matricea sistemului este matrice augmentată rang și este egal cu numărul r.
acest caz, sistemul este compatibil și trebuie să găsească soluția sa.
4. Folosind o formă în trepte o matrice extinsă a sistemului, înregistrează sistemul nivel corespunzător.
5. Dacă numărul r este egal cu numărul de necunoscute n, viteza sistemului este de forma
Din sistemul (2) găsi succesiv valorile pentru x1. x2, ..., xm. pornind de la ultima ecuație. În acest caz, sistemul (1) are o soluție unică.
6. În cazul în care numărul r mai mic decât numărul de necunoscute, viteza sistemului este de forma
Sistemul (3) ecuații r și n necunoscute. x1 Necunoscut, ..., hj1 care a găsit mai întâi în sistemul de ecuații (3), să numim principalul necunoscut. alte # 9472; necunoscut gratuit. De la (3) se extind succesiv prin principala disponibilitate necunoscută din ultima ecuație. necunoscutele gratuite poate lua orice valoare. În acest caz, sistemul are infinit mai multe soluții.
2)
3)
regula lui Cramer pentru sisteme de ecuații liniare de rezolvare.
Gabriel Cramer (1704 - 1752) # 9472; matematician elvețian, care în anul 1750 a găsit o metodă pentru sisteme de ecuații liniare de rezolvare, numit mai târziu regula lui Cramer.
Definiția. Sistemul de ecuații liniare se numește Cramer, în cazul în care corpul de ecuații este egal cu numărul de necunoscute și determinantul matricei sistemului este nenul.
Teorema 7.1. Sistemul Cramer are o soluție unică, care este în conformitate cu formulele
unde # 9472; determinant al matricei sistemului, # 9472; determinant obținut din. înlocuirea coeficienților coloană unei coloane de termeni liberi.
Dovada. Având în vedere un sistem Cramer
# 9474; # 9474 A = # 8710; =
Conform Teorema 3, capitolul 6 Sistemul de matrice A are o matrice A inversă -1.
Scriem sistemul Cramer (4) sub formă de matrice
Înmulțind ambele părți ale ecuației matricei (5), la stânga de A -1:
Din cauza asociativitatea matrice de multiplicare, avem
A -1 (AX) = (A -1 A) X = X = H. ET
X = A -1 V # 9472; Soluție de sistem.
1) Să ne arată că soluția este unică. Să presupunem că X1 și X2 # 9472; Două soluții ale ecuației matricei (5). Apoi AH1 = B și B = AX2 unde AH1 = AX2. Multiplicarea atât Chisti egală cu A -1 pe stânga, avem
Prin urmare, sistemul (4) are o soluție unică.
2) Am găsit soluția (4). Din ecuația X = A -1 V au:
=
Notând determinantul de pe partea dreaptă, respectiv, obținem formula.
Exemplu. Rezolva un sistem de ecuații prin regula lui Cramer