Condițiile inițiale și la limită

Pentru a determina temperatura din interiorul corpului, în orice moment, nu este suficient de ecuația (6). Este necesar, după cum rezultă din considerente fizice, de a cunoaște o distribuție uniformă a temperaturii în interiorul corpului la momentul inițial (starea inițială) și condițiile termice ale limitei corp (condiție de frontieră).

Condiția inițială este în contrast cu ecuația hiperbolică este dat doar una, deoarece ecuația inițială conține doar primul derivat de timp.

Condițiile la limită sau la limită poate fi variată în funcție de temperatura la limita corpului. Principalele tipuri de condiții termice sunt următoarele: I - la limita o anumită temperatură este menținută; II - alimentat la granița definită fluxul de căldură; III - un schimb de căldură cu un mediu a cărui temperatură este cunoscută. Ele corespund condițiilor de frontieră ale primului-al treilea tip, în al doilea rând,.

Formulăm condițiile de mai sus pentru ecuația căldurii unidimensional.

Condiția inițială este setarea funcției u = u (x, t) la momentul inițial (t = 0):

Deducem condițiile limită în cazul I - III.

1. La capetele tijei (sau la un capăt) este dat de temperatura

unde - funcțiile definite într-un interval de T, care este intervalul de timp în care este studiat procesul. In mod specific, și anume la capete și menținut la o temperatură constantă.

2. La un capăt (sau ambele) este setat la derivata funcției dorite. De exemplu, secțiunea transversală pentru x = 0

Noi da o interpretare fizică a acestei condiții. Să t) - valoarea fluxului de căldură, adică cantitatea de căldură care curge prin capătul x = 0 secțiune transversală pe unitatea de timp. Apoi, ecuația echilibrului termic pentru un element de tijă (0; # 916; x) la momentul t, la fel ca în derivarea ecuației (4) poate fi scrisă ca

a scăzut cu # 916; t și trecerea la limita # 916; x 0. obține

Astfel, avem condiția (12), în care funcția cunoscută exprimată printr-un flux de căldură predeterminat prin formula

In mod similar, pentru x = 1, secțiunea transversală prin care curge căldura. găsi

Prin urmare, condiția vsluchae deține sau când se administrează capătul corespunzător al tijei fluxului termic care curge în sau curge. În special, în cazul în care sechenieteploizolirovano terminalul, apoi (t) = 0 sau (t) = 0. și deci

3. La un capăt (sau ambele) este dată de o relație liniară între o funcție și derivatul său. De exemplu, secțiunea transversală pentru x = l

Condiții de tip (13) este utilizat în cazul procesului de transfer de căldură, adică, transferul de căldură din organism pentru mediu. dreptul de transfer de căldură este complex; dar, pentru a simplifica problema, aceasta poate fi adoptată în forma legii lui Newton. Conform legii lui Newton empirică a căldurii, degajate pe unitatea de timp pe unitatea de suprafață a corpului în mediu, care este cunoscută temperatură proporțională cu diferența de temperatură dintre suprafața corpului și mediu:

unde # 945; - coeficientul de transfer termic (conducta de căldură sau externă).

Este posibil să se determine fluxul de căldură prin secțiunea barei, folosind cele două expresii în dreptul cilu de conservare a energiei.

Conform legii lui Newton a fluxului termic q (t), care curge prin secțiunea transversală

Pe de altă parte, un flux de căldură trebuie să fie alimentată intern prin conducție. Prin urmare, în conformitate cu legea lui Fourier

Asimilarea laturile dreapta ale acestor expresii, găsim

De aici obținem formularea matematică sub formă de condiții

. .

Rețineți că condițiile la limită impuse valorile funcției u (x t), numit condițiile de primul tip. Condițiile la limită impuse asupra valorii instrumentului derivat se numește condițiile de ordinul al doilea. Condițiile impuse atât valoarea funcției u (x, t), iar valoarea derivatului. numit condițiile de al treilea tip.

Acest tip de condiții limită (11), (12) și (13) indică, respectiv, un prim, probleme la limita a doua, a treia pentru ecuația căldurii. Condiția inițială pentru toate problemele la limită menționate anterior rămâne același și este dată de ecuația (10).

Astfel, prima problemă care valoarea limită constă în găsirea unei soluții u u = (x, t) a ecuației

la 0

u (0, t) =, 0

În mod similar, alte probleme la limită generate cu diferite combinații de condițiile limită la x = 0 și x = l.