Conceptul unui sistem de funcții ortogonale

Conceptul unui sistem de funcții ortogonale

Opredelenie1.Sistema (setul, colecția) de funcții definite pe intervalul. numita ortogonală pe acest segment, iar dacă

Rețineți că toate funcțiile din sistem:

Acestea sunt periodice, cu o perioadă mai mică 2π comun pozitiv.

De fapt, # 966; 1 (x) = 1 periodice cu orice funcție perioadă nenul # 966; 2 (x) = cosx și 966 # 3 (x) = sinx au cea mai mică perioadă 2tt pozitivă, iar funcțiile x COSP ISIN PX sunt cea mai mică perioadă pozitivă. Prin urmare, numărul T = 2tt este pe de o parte comună și pe de altă parte, cea mai mică perioadă pozitivă pentru toate funcțiile din sistem.

Teorema 1.Integral din funcție periodică în conformitate cu orice segment a cărui lungime este egală cu perioada pozitivă nu depinde de alegerea intervalului de integrare.

Într-adevăr, să T> 0 - perioada funcției f (x), și - numărul real arbitrar. Să ne dovedi că

Conform proprietății aditivului integralele definite

(Deoarece integrala definită este independentă de simbolul variabilei de integrare).

Primit: i3 = - i1. Prin urmare. QED.

Funcțiile sistemului Teorema 2.Trigonometricheskaya ortogonale pe orice interval de lungime 2π.

Având în vedere afirmația teoremei 1, dovada pentru intervalul simetric.

Demonstrăm mai întâi funcția ortogonală # 966; 1 (x) = 1 pentru toate celelalte:

,deoarece pentru orice funcție nui număr întreg k, iar segmentul de integrare este simetrică.

Demonstrăm acum ortogonalitatea sinusul peste cosinusul:

pentru orice k și m N (chiar și pentru orice k = m), ca integrandul este ciudat.

În continuare vom demonstra cosinus ortogonalitate cu diferite argumente, și anume când k ≠ m.

Acum, verificați sinusuri ortogonalitate cu diferite argumente, și anume când k ≠ m.

(A se vedea. Anterioară integrală).

Rămâne să se calculeze integralele pătratelor funcțiilor sistemului:

Determinarea seria 3.Funktsionalny a formei

compus din funcțiile sistemului trigonometrice