Cifrele echivalente și equidecomposable
La calcularea zonelor poligoanelor folosind o tehnica simpla numita metodă de separare. Luați în considerare poligoane F și H, prezentat în Fig. 1, în cazul în care se arată cum se poate rupe aceste poligoane la același număr de părți egale, respectiv (părți egale marcate cu aceleași numere). Pe poligoane F și H spun că equi. În general, poligoanele A și B sunt numite equidecomposable în cazul în care, într-un anumit fel prin tăierea poligon A într-un număr finit de părți, este posibil prin plasarea acestor părți, oricum, din ele un B. poligon Este ușor de observat că următoarea teoremă are: poligoanele equidecomposable au aceeași zonă, sau, se spune că au o suprafață egală. De exemplu, paralelogram dreptunghi equidecomposable (fig. 2) și de aceea, cunoscând formula zona dreptunghi, descoperim că aria paralelogramului este egală cu produsul dintre lungimile laturilor și înălțimea corespunzătoare.
Cifrele echivalente și equidecomposable. Fig. 1.
Cifrele echivalente și equidecomposable. Fig. 2.
Cifrele echivalente și equidecomposable. Fig. 3.
Cifrele echivalente și equidecomposable. Fig. 4.
Cifrele echivalente și equidecomposable. Fig. 5.
Este remarcabil faptul că pentru teorema de mai sus este valabil, iar teorema conversa că dacă două poligoane de suprafață egală, ei equi. Această teoremă a fost dovedit în prima jumătate a secolului al XIX-lea. matematician maghiar F. Bolyai și un ofițer și matematicieni amatori P. Gerwin germană, poate fi explicată după cum urmează: în cazul în care există un tort în formă de poligon și forma caseta poligonal complet diferite, dar aceeași zonă, astfel încât este posibil să se taie morcovul într-un număr finit de bucăți pe care acestea ar putea fi să investească în această casetă.
În legătură cu teorema Bolyai-Gervin ridică problema impunerii unor restricții suplimentare privind numărul sau dispunerea de piese care alcătuiesc poligoanelor de suprafață egală. De exemplu, ne imaginăm un plan sub forma unei foi de hârtie colorată, din care o parte este roșu, iar celălalt - alb. Dacă dintr-o hârtie de tăiat cu două dimensiuni egale poligon roșu, se pune întrebarea dacă unul dintre ei taie în bucăți, care vor fi în măsură să stabilească poligonul roșu este egal cu al doilea. Piesele sunt lăsate să schimbe, fără a le transforma în partea albă, greșit. Răspunsul la această întrebare este, de asemenea, afirmativ.
O variantă a acestei probleme a fost propusă într-una din Moscova matematice Olimpiadele în următoarea formă de benzi desenate. Excentric - tort patiserie coapte (și prăjituri, spre deosebire de stick-ul, partea superioară este acoperită cu o cremă) într-un triunghi în formă unilaterală. Și o cutie făcută la tort, dar din neatenție l lipit incorect, astfel încât cutia de tort și au fost simetrice una față de cealaltă (fig. 4). Avem nevoie (dacă este posibil punct de vedere economic) taie tortul în bucăți, care ar fi putut fi puse în această casetă. Desigur, tort nu poate fi stabilită crema.
Rezultatul interesant asociat cu impunerea unor cerințe suplimentare privind localizarea pieselor, a fost obținută în 1952, matematicienii elvețieni și Hadwiger G. P. Glyurom: equidecomposability două poligoane egale poate fi setat prin intermediul partițiilor, în care părțile corespondente au fețe paralele. La prima vedere, se pare neplauzibil chiar greu de crezut că două triunghiuri egale, rotite una față de cealaltă, la un unghi arbitrar (Figura 5), puteți fi întotdeauna împărțite în părți egale cu laturile paralele, respectiv. Cu toate acestea, există o partiție a acestor triunghiuri care părți pentru care este rupt un triunghi, obținute din părțile corespunzătoare ale doilea triunghi traducerile paralele sau simetriile centrale. Același lucru este valabil și pentru oricare două poligoane de suprafață egală. Cu toate acestea, unele părți numai traduceri paralele nu reușesc. De exemplu, indiferent de modul în care ne taie paralelogram în părți, este imposibil să se facă traduceri paralele ale acelor părți ale triunghiului.