câmp vectorial integral liniar

Integrala linia câmpului vectorial - aceasta este linia integralei doilea tip. El este introdus după cum urmează. Să domeniul G dat un câmp vectorial. iar acest domeniu este definit neted sau neted curba orientat pe porțiuni AB. Impartim curba AB în punctele de divizare n părți în direcția de la A la B. Vectorul raza unui punct notat. Vector. Noi arbitrar alege fiecărui punct arc parțial și calcula valoarea câmpului în acesta. Pentru toate vom calcula valoarea produsului scalar și formează suma formei.

6. Determinarea integralei liniei câmpului vectorial de-a lungul arcului AB este limita (dacă există), care urmărește suma integrală. dacă cea mai mare dintre lungimile arcului parțial tinde la zero, iar numărul n de creșteri arce elementare la infinit. Această limită este notată. Ie

Când modificați orientarea curbei integrale schimbări semn.

Sensul fizic al expresiei - este forța de muncă produsă prin deplasarea punctului de material de la A la B-a lungul conturului L.

Linear câmp vectorial integral de-a lungul unei curbe închise (bucla L) câmp se numește circulația într-un circuit închis pentru o anumită direcție traversal buclă și este notat cu

(+ Sign indică faptul că antiorar circuit).

Lăsați câmpul este setat coordonatele sale și funcțiile. atunci

Pe partea dreaptă a expresiei (7) - linia integrală a doilea tip.

Pentru un câmp plat linie integrală se calculează prin formula :. (8)

câmp liniar vector integral este calculat conform regulilor obișnuite de calculare a integrant linie al doilea tip, și anume Acesta este convertit într-o anumită. Pentru a face acest lucru, toate variabilele sub semnul integrală este exprimată ca o singură variabilă, folosind ecuația liniei de-a lungul căreia se realizează integrarea.

În cazul în care câmpul vectorial este dat în spațiu. iar linia AB este dată de ecuațiile parametrice care

În cazul în care linia AB este dată sistemul de ecuații

Pentru un vector câmp plat și linia AB. dat de ecuații parametrice. integralei linie se calculează după cum urmează:

în care: - valoarea parametrului t, corespunzătoare punctelor de început și de sfârșit ale calea integrării.

Pentru arcul AB, definit prin ecuația. . (8.2)

În cazul în care linia AB este netedă pe porțiuni, ar trebui să utilizați linia de proprietate aditiv integrală, de rupere AB în arce netede.

Exemplul 10. Găsiți lucrarea câmpului vectorial atunci când se deplasează punct de-a lungul buclei constând din parte a curbei, și de la un punct la altul pe arcul elipsei inainte.

. Deoarece circuitul compus din două părți, utilizarea este aditivă linie integrantă :. Reducem ambele integralele la anumite formule (8.1) și (8.2).

Pentru a calcula integrala a conturului soarelui folosind forma parametrică a unei intrări ecuație elipsă.

Exemplul 11. Se calculează circulația câmpului vectorial de-a lungul unei curbe Viviani porțiune definită de intersecția unei emisfere și un cilindru. traversat invers acelor de ceasornic, atunci când este privit din partea pozitivă a axei OX.

Folosind formula (7). C.

Pentru a reduce integrantul la o singură variabilă, trece la un sistem de coordonate cilindric :. pentru că punct se mișcă de-a lungul curbei. apoi ia în considerare setarea unghiului polar, și să obțină următoarele ecuații parametrice ale curbei:

Substituind expresiile obținute în formula de calcul circulație:

Având în vedere proprietățile integralelor intervalului simetric al funcțiilor pare și impare, obținem :. și

Pentru un câmpuri vectoriale plat avem următoarea afirmație.

Dacă funcțiile și derivatele parțiale ale acestora sunt continue în domeniul închis D. unde D - limita unui domeniu conectat simplu G, atunci

- Formula Green. (10)

Este o direcție pozitivă a circuitului (contrar acelor de ceasornic).

Exemplul 12. Folosind formula Green pentru a calcula câmpul vectorial circulă pe un contur format din segmente de linie OA, OB și o mai mare arc. care unește punctele A și B, în cazul în care. . .

Prin formula lui Green: C. . ; . . C.

Verificați răspunsul prin calculul circulației direct de-a lungul conturului cu o integrală liniară: C.

Sarcina de control 5.

Se calculează integralele liniare ale câmpului vectorial:

2) și o elipsă). b).

3) Calculati circulă câmp vectorial de-a lungul elipsa obținut de la intersecția planului cilindrului în sensul acelor de ceasornic atunci când este privit din punctul (0, 10, 0).

4) Se calculează integralei linia câmpului vectorial de-a lungul ABOC polilinie. în cazul în care. . . .

5) Găsiți munca de teren de-a lungul liniei de intersecție a cilindrului și prin punctul de la punctul.