Calculul integralelor folosind formulele de dreptunghiuri și trapeze

  • Scopul didactic. Pentru a familiariza studenții cu metodele de calcul aproximativ al integrale definite.
  • Scopul educațional. Tema acestei sesiuni este de mare valoare practică și educațional. Cele mai multe pur și simplu ideea de integrare numerică poate fi abordată pe baza definiției de definit integralei ca limita sumelor Riemann. De exemplu, dacă luăm orice partiție suficient de fină a intervalului [a; b] și de a construi pentru el o sumă integrală, valoarea acesteia poate fi aproximativ considerată ca valoarea corespunzătoare a integralei. Este important să se realizeze rapid și corect calculele cu ajutorul tehnologiei de calculator.

cunoștințe și abilități de bază. Au o idee despre metode aproximative de calcul integrala definită a formulelor de dreptunghiuri și trapeze.

Tipul de activitate. Integrat practic.

Motivația activității cognitive a studenților. Foarte des este necesar să se calculeze integralele definite pentru care este imposibil să se găsească primitiv. În acest caz, utilizați metode aproximative de calcul al integralele definite. Uneori, o metodă aproximativă este folosită pentru „care se angajează“ integralele, în cazul în care calculul Newton-Leibniz nu este rațional. Ideea de calcul aproximativă a integralei este că curba se înlocuiește cu un nou, „aproape“, suficient pentru curbele ei. În funcție de alegerea unei noi curbe poate fi utilizată sau ca formula aproximativă a integrării.

  1. formula dreptunghi.
  2. regula trapezului.
  3. soluție exercițiu.
  1. Repetiție susținerea cunoștințelor studenților.

Se repetă cu elevii: formule de integrare de bază, esența metodelor studiate de integrare, sensul geometric al integralei definit.

  1. Efectuarea de lucrări practice.

Solutia de multe probleme tehnice sunt reduse la calculul integralele definite, a căror expresie exactă este dificilă, necesită calcule lungi și nu sunt justificate întotdeauna în practică. Există destul de valori aproximative ale acestora.

Să presupunem, de exemplu, este necesar să se calculeze zona delimitată de o linie de ecuație este necunoscută. În acest caz, puteți înlocui această linie o ecuație simplă, care este bine cunoscut. Suprafața astfel obținută este luată ca valoare aproximativă trapezoid curbată a integralei dorită.

Cea mai simplă metodă este de a aproxima metoda dreptunghi. Ideea Geometric unei metode de calcul integrala definită a formulei dreptunghi este că aria ABCD trapez curbiliniu se înlocuiește cu suma suprafețelor de dreptunghiuri, dintre care o parte este egală, iar celălalt -.

Pentru a rezuma dreptunghiuri pătrate, care prezintă o zonă trapezoidală curbată cu un dezavantaj [Figura1], obținem ecuația:

obținem formula:

În cazul în care un exces

Valorile y0. y1. se găsește din ecuațiile yn, k = 0, 1. n .Aceste formule numite formule dreptunghiuri și dau rezultate aproximative. Odată cu creșterea n rezultat devine mai precis.

Deci, pentru a găsi valoarea aproximativă a integralei, trebuie:

Pentru a găsi eroarea de calcul, este necesar să se utilizeze formula:

Exemplul 1. Se calculează formula dreptunghiuri. Găsiți eroarea absolută și relativă a calculelor.

Impartim intervalul [a, b] în multiple (de exemplu, 6) părți egale. Apoi a = 0, b = 3.

Pentru a calcula eroarea relativă de calcul, este necesar să se găsească valoarea exactă a integralei:

Calculele au fost mult timp și ne-am rotunjiri destul de dur. Pentru a calcula această abordare integrată, cu mai puțin, puteți profita de capacitățile tehnice ale calculatorului.

Pentru a găsi definit integralei prin dreptunghiuri trebuie să intre valoarea funcției integrantul f (x) în Excel foaie de lucru x în intervalul [2, 5] cu un pas predeterminat x = 0,1.

Comparând valoarea aproximativă obținută cu valoarea reală a integralei (39), se poate observa că eroarea metodă de aproximare dreptunghiulară în acest caz este

= | 39-37 955 | = 1, 045

Exemplul 2. Folosind metoda dreptunghiuri, calcula un pas predeterminat x = 0,05.

Comparând valoarea aproximativă obținută cu valoarea reală a integralei se poate observa că eroarea metodă de aproximare dreptunghiulară în acest caz este

metoda trapezoidală oferă de obicei o valoare mai precisă a metodei integrale decât dreptunghiuri. trapez curbiliniu se înlocuiește cu suma mai multor trapeze și valoarea aproximativă a integrala definită este suma ariilor trapezelor

Exemplul 3. Metoda trapezelor găsi incrementează x = 0.1.

Comparând valoarea aproximativă a valorii reale a integralei se poate observa că metoda de dreptunghiuri Aproximarea eroare în acest caz, este o practică acceptabilă.

  1. soluție exercițiu.
  1. Se calculează dreptunghiuri prin împărțirea intervalului [0, 1] în 20 părți egale.
  2. Calculat prin metoda trapezelor
  3. Calculat prin metoda trapezelor
  4. Calculat prin metoda trapezelor
  5. Se calculează împărțind intervalul [0; 4] la 40 de părți egale.
  6. Se calculează împărțind intervalul [0, 8] pe 40 părți egale.
  7. calcula