Calcularea rotorului într-un sistem de coordonate rectangular,

Proiecția câmpului vectorial al rotorului la punctul A în direcția normală la suprafața calibrat prin bucla # 916; L. definită prin formula

,

în care - Un vector de-a lungul buclei de circulație # 916; L; # 916; S - aria regiunii delimitate de acest contur.
Teorema. Carteziene rotor de coordonate vector A poate fi reprezentat ca

în cazul în care Ax. Ay și Az - coordonatele vectorului A.
Dovada. Am ales ca un circuit de integrare # 916; L infinitezimal dreptunghiuri de delimitare dispuse într-un plan paralel cu planul de referință x 0Y (așa cum se arată în figura 1).

Fig. 1. Conturul integrării # 916; L este un dreptunghi, al cărui centru este punctul.

zonă # 916; S dreptunghiului este egal cu # 916; x · # 916; y. iar direcția normală coincide cu direcția pozitivă a axei z.

Fig. 2. Conturul integrării.

Prin urmare, raportul dintre circulația sângelui în zona # 916; S sub contracția punctului de contur dă z-componentă a rotorului.
Reprezintă circulația câmpului vectorial A ca suma integralelor:

.

Dată fiind micimea laturile dreptunghiului, funcția Ax și Ay pot fi înlocuite cu valorile lor medii la intervale corespunzătoare. Rețineți, totuși, că Ax valoarea proiecției pe segmentul DC diferă de valoarea corespunzătoare din segmentul AB de suma.
atunci

.

În mod similar, valorile de diferență pentru Ay BC și segmentele AD este. Prin urmare,

.

.

Având în vedere relația limită

,

Ajungem la formula

.

Expresiile pentru celelalte coordonate ale rotorului pot fi obținute printr-o schimbare ciclică a variabilelor:

performanța rotorului în ceea ce privește operatorul nabla.
Luați în considerare produsul vectorial al operatorului și funcția de vector:

Noi transformăm această expresie prin aplicarea teoremei privind extinderea unui factor determinant al elementelor rând. (Să ne amintim că operatorii de diferențiere ar trebui să fie întotdeauna poziționat în partea stângă a funcțiilor la care se aplică.)

Acest rezultat coincide cu vectorul de expresie pentru câmpul rotorului A. Prin urmare,