Bazele teoriei semnalelor ortogonale

Noi introducem conceptul de produs scalar al elementelor spațiale vectoriale. Produsul scalar a semnalelor reale u și v:

Produsul interior are următoarele proprietăți:

3. în cazul în care - numărul real

5. - pe bună dreptate Cauchy-Schwarz inegalitate.

Spațiul liniar cu produsul interior conține în sine toate punctele limită ale oricăror secvențe convergente vectori ai acestui spațiu se numește reală spațiu Hilbert H.

În cazul în care semnalele iau valori complexe, atunci putem defini un spațiu complex Hilbert.

În cazul în care semnalele sunt integrate, produsul scalar:

Cele două semnale sunt numite ortogonale dacă produsul lor interior, și, prin urmare, energia reciprocă egală cu zero:

Să presupunem că intervalul este setat funcții de sistem infinit. ortogonale între ele și au unități de norma:

Se spune că, în același timp, în spațiul semnalelor date bază ortonormală. Descompunem un semnal arbitrar într-un rând:

O astfel de reprezentare se numește generalizat semnalul următor Fourier într-o bază selectată.

Coeficienții din această serie sunt după cum urmează. Ia funcția de bază a unui număr aleator. multiplica pe ea ambele părți ale (1.10) și apoi să integreze rezultatele în funcție de timp:

În baza de ortonormalitate vedere pentru definirea partea dreaptă a (1,11) va fi doar un membru din valoarea camerei. Prin urmare:

Luați în considerare un semnal. expansiune serie în sistemul de bază ortonormală și calculează energia înlocuind direct această serie în integralei corespunzătoare:

Deoarece sistemul de bază al funcțiilor ortonormate, în suma (1.13) este diferită de zero, vor doar membrii cu numerele. Acest lucru conduce la un rezultat remarcabil, care se numește egalitatea Parseval:

Semnificația acestei formule este suma energiei energiile de semnal ale tuturor componentelor, din care există o serie Fourier generalizată.